《数学建模课件讲义-第六章-稳定性模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模课件讲义-第六章-稳定性模型（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章 稳定性模型 捕鱼业的持续收获 军备竞赛 种群的相互竞争 种群的相互依存 种群的弱肉强食 稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。 捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发 在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。 问题及 分析 在 捕捞量稳定 的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量， 渔场鱼量将保持不变 ，则捕捞量稳定。 背景 )1()()()1()()( )()()( 记产量模型 假设 无捕
2、捞时鱼的自然增长服从 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解 x(t), 只需知道 x(t)稳定的条件 r固有增长率 , N最大鱼量 h(x)=E捕捞强度 x(t) 渔场鱼量 一阶微分方程的平衡点及其稳定性 )1()( 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根 微分方程的 平衡点 000 设 x(t)是方程的解，若从 邻域的任一初值出发，都有 ,)(l i m 0 称 1)的 稳定平衡点 不求 x(t), 判断 直接法 )2()( 00 (1)的近似线性方程 )1(),2(0)( 00 对稳定)1(),2(0)( 00 对不稳定0)( ),1(10 )(,)(
3、 10产量模型 )1()()(平衡点 稳定性判断 0)(,0)( 10 ,0)( 10 定 , 可得到稳定产量 定 , 渔场干枯 E捕捞强度 r固有增长率 不稳定稳定 10 , 0 , 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大 图解法 )()()( )1()( )(0)( 衡点 2/ *0* m y=rx h P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) h产量 )4/,2/( *0* m 产量最大 f 与 稳定0hm N/2 P* y=E*x 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 )1()()()()1(4 222 效益模型 假设 鱼销售价格 p 单位捕捞强度费用 c 单位时间利润
4、 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大 . )/1(0 稳定平衡点 求 (E)最大 )1(2 )1( R 渔场鱼量 2*收入 T = ph(x) = 出 S = s S(E) T(E) 0 r E 捕捞过度 封闭式捕捞 追求利润 R(E)最大 开放式捕捞 只求利润 R(E) 0 )1()()()(R(E)=0时的捕捞强度 (临界强度 ) 1( 界强度下的渔场鱼量 捕捞过度 1(2 E* 令=0 )1( ss 军备竞赛 描述双方 (国家或国家集团 )军备竞赛过程 解释 (预测 )双方军备竞赛的结局 假设 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快； 2）由于经济实力限制，一方军
5、备越大，对自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。 进一步假设 1） 2）的作用为线性； 3）的作用为常数 目的 )(建模 军备竞赛的结局 微分方程的平衡点及其稳定性 x(t)甲方军备数量， y(t)乙方军备数量 )(, 本方经济实力的制约； k, l 对方 军备数量的刺激； g, h 本方 军备竞赛的潜力。 t 时的 x(t)， y(t) 线性常系数微分方程组 )()( 的平衡点及其稳定性 平衡点 P0(x0,(0,0) 代数方程 00根 若从 有 ,)(l i 称 定平衡点 ,)(记系数矩阵 征方程 0)d e t ( 02 特征根 2/)4( 2
6、2,1 线性常系数微分方程组 )()( 的平衡点及其稳定性 特征根 2/)4( 22,1 平衡点 ,0) 微分方程一般解形式 tt 121 平衡点 ,0)稳定 平衡点 ,0)不稳定 1,2为负数或有负实部 p 0 且 q 0 p x(t), y(t)0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平。 )()(模型 , 本方经济实力的制约； k, l 对方 军备数量的刺激； g, h 本方 军备竞赛的潜力。 3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时 x(t), y(t)很小，但因 ，也会重整军备。 0,0 4）即使某时一方 (由于战败或协议 )军备大减 , 如 x(t)=0， 也会因 使该方重整军
7、备， 即存在互不信任 ( ) 或固有争端 ( ) 的单方面裁军不会持久。 0k 0, 本方经济实力的制约； k, l 对方 军备数量的刺激； g, h 本方 军备竞赛的潜力。 )()(模型 种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。 22112222 1)( )1()(11111 11111 1)( 型假设 有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从 )1()(2
8、2222 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比 ; 甲对乙有同样的作用。 对于消耗甲的资源而言，乙 (相对于 甲(相对于 的 1 倍。 11 对甲增长的阻滞作用，乙大于甲 乙的竞争力强 模型 221 模型分析 22111111 1)( 22112222 1)( 的趋向时 )(),( 21 (平衡点及其稳定性 ) (二阶 )非线性(自治 )方程 ),()( ),()(212211 的平衡点及其稳定性 平衡点 P0( 代数方程 0),(0),(2121根 若从 有 ,)(称 定平衡点 ,)(l i m 022 模型 判断 稳定性的方法 直接法 (1)的近似线性方程 )1(),(
9、)(),()(212211)2()(,()(,()()(,()(,()(022020101102012022020101102011212102121e t)(00212平衡点 对 2,1) p 0 且 q 0 平衡点 对 2,1) p 1时， 模型 )0,0(,1)1(,1)1(4212221113 2211221222211122111121212121平衡点稳定性分析 4,3,2,1,d e t,)( 21 2211222212211111211),(1),(平衡点 定条件： p 0 且 q 0 种群竞争模型的平衡点及稳定性 不稳定 平 衡点 )0,( 11 1( 221 q)1( 221 0( 22 11 )1( )1( 121 212221113 1)1(,1)1( )(1(,0(4p )( 21 21()1( 1, 11, 一个种群存活而另一灭绝的平衡点 两种群共存的平衡点 11, 11 部 )稳定 130(3) 11, 21, 21 加上与 (4)相区别的 11 21 甲的竞争力强 甲达到最大容量，乙灭绝 11, 21, 121 前提下 结果解释 212221112 1)1(,1)1( 1 甲必须为乙提供足够的食物 甲为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍 11, 121条件下使 121, 12 0
