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1、实验五 圆周率实验五 圆周率 的“实验测定” 的“实验测定” 圆周率是一个极其驰名的特征数，代表圆周和直径的比例，其数值介于3.1415926 3.1415927 之间。它是一个无理数，也是一个不循环小数。自古以来，对圆周率的研究一直当作一个数学课题，德国数学史家康托曾说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。” 能否通过实验对 的数值进行估算呢？本实验介绍的几种测定方案，也许会给你有益的启示。 实验目的 1理解用常规物理仪器测圆周率 的物理思想； 2学会正确使用物理天平、螺旋测微计等基本物理量具。 实验方案 方案一 测量圆的周长和直径，其比值即
2、圆周率 方案一 测量圆的周长和直径，其比值即圆周率 圆周率的数值，最初都是通过实验或观察得到的，都是基于通过对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在我国第一部周髀算经中，就记载有圆“周三径一”这一结论。我国木工师傅也有两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为 1 的圆，周长大约是 3；边长为 5 的正方形，对角线之长约为 7。这正反映了早期人们对圆周率 和2这两个无理数的粗略估计。 在我国古代 ，不少科学家对圆周率的研究都作出了贡献。最早是魏晋时，刘徽曾用“割圆术”（即使正多边形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法）求得的近似值 3.1416 。汉朝时，张衡得出的平方
3、除以 16 等于 5/8，即等于 10 的开方（约为 3.162）。虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。公元 5 世纪，祖冲之和他的儿子以正 24576 边形，求出圆周率约为 355/113，和真正的值相比，误差小于八亿分之一。这个纪录在一千年后才给打破。 1方案二 用量筒“量出” 圆周率 方案二 用量筒“量出” 圆周率 在实验一中，我们测量了小钢珠的体积，根据361DV ，立即可知 VD63 问题是，小钢珠的体积并不知道啊！是否可以用“量筒”测量小钢珠的体积呢？（想一想，怎么做？） 方案三 用天平“秤出” 圆周率 方案三 用天平“秤出” 圆周率 在一块厚薄均匀的材料上
4、取下一个半径为 R 的圆和一个边长为 R 的正方形，其质量分别为 HRm2圆和 HRm2方式中，为该材料的密度，H 为材料的厚度。 由此可得 方圆 mm 因此，只要用天平测出圆和方块的质量即可得到圆周率的数值。问题是，这样一个厚薄均匀的材料怎么选择？圆与方块的“加工”有无困难？可以选用纸张来“加工”吗？ 方案四 用等质量法测量圆周率 方案四 用等质量法测量圆周率 选用密度均匀和厚薄相等的纸张制作圆形和方形、长方形薄片。如方案三所述圆形薄片的面积为，质量为。 2RS圆HRm2圆2另有个边长为 R 的正方形薄片，它们的面积为；还有个长为 R、宽为0.1R 的长方形薄片， 它们的面积为； 又有个边长
5、为 0.1R 的正方形薄片，它们的面积为。则，这些方形、长方形薄片组合后的总面积为 1n1Rn3n2n2 21 . 0 Rn 2 301. 0Rn 22 321)01. 01 . 0(nRRnnnS总HnRHRnnnm22 321)01. 01 . 0(总由于圆形薄片和 n 个方形、长方形薄片的厚度、密度均相同，故当两者面积相等时，它们的质量也相等。因此有 2nHSHSmm方圆方圆 所以 321nnnn 方案五 其它（略） 方案五 其它（略） 实验仪器 物理天平、量筒、游标卡尺、螺旋测微计、小钢珠、剪刀、方格纸等。 天平是称衡物体质量的通用仪器，从其结构特征看，可分为杠杆式天平和电子天平；根据
6、其精度级别，又可分为物理天平和分析天平。本实验使用的是物理天平。该天平允许的最大称量为 500 克，最小分度值是 50 毫克。 1. 天平的结构 天平结构如图 10 - 1 所示。横梁是天平的主要部件，横梁上共有三个刀口，两侧的两个刀向上，称量时天平的左右两个托盘通过吊耳挂在上面，称量完毕后吊耳从刀口上拿下；中间的刀口向下，放在立柱顶端的玛瑙刀托上。转动立柱下方的手轮，可使横梁上下升降。横梁升起后全部重量（包括横梁、砝码盘、砝码、 待测物体等） 都由中间刀口承担。为了保护刀口， 天平在不使用时或在称衡过程中要适时转动手轮，降下横梁使其两端放在休息架上， 让中间刀口与刀托分离。 横梁的中部有一细
7、长的指针， 用来指示天平的平衡状态， 指针上部有一感量砣， 调节它的位置可以改变天平的灵敏度（位置越高，灵敏度越高） 。感量砣的位置出厂时已经调好， 不应随便移动。 横梁的两端有平衡 图 10-1 物理天平 调平螺丝 调平螺丝手轮 底座砝码盘 感量砣横梁休息架平衡螺母 游码中刀托 边刀吊架 中间刀口度盘杯托盘指针水准泡立柱3螺母，用于空载时调节天平的平衡。 底座上装有水准泡和调平螺钉。调节调平螺钉，使水准泡中的气泡在圆圈中即为天平工作位置。天平左侧砝码盘旁边装有一杯托盘，当用阿基米德原理测量物体的表观质量时，可把杯托盘转到砝码盘上方，将盛水的烧杯放在杯托上。每架天平都配有一套砝码，砝码的精度级
8、别分为五个等级，一般物理天平配用四等或五等砝码。一克以下的砝码太小，使用不方便，所以在横梁上附有可以移动的游码。本实验所用天平横梁上的分度值为 50mg，这样游码在横梁向右移动一个分格，相当于在右边砝码盘中加了 50mg 的砝码。 （2）天平的使用 1） 称衡前先要在仪器的铭牌上看清仪器的型号和规格，检查各零部件安装是否正常，特别是左右吊耳和砝码盘是否放错位置。然后调节天平。 注意：载荷量切勿超过该天平的称量。 注意：载荷量切勿超过该天平的称量。 2）天平调节，首先调节天平的底脚螺丝，使天平水平，标准是看水准泡中的气泡是否在圆圈中，是，则天平水放置了；否，则继续调节天平的底脚螺丝，直至达到要求
9、。然后将游码置于横梁左端的零分度线处。转动手轮，使天平的横梁升起，看天平的指针是否指在度盘的中间位置，是，天平平衡了；否则应降下横梁，调节横梁两端的平衡螺母，使天平达到平衡。 3）称衡时按照习惯被测物体放在左盘，砝码放在右盘（复秤法除外） 。每次增减砝码或移动游码都要及时制动（即降下横梁） ，使天平处于休息位置以保护刀口。 4）称衡结束时，应放下天平横梁，取出被测物体，砝码和镊子应按原位放回砝码盒中。 实验内容 1了解天平的结构，学会调节和使用天平。 了解天平的结构，学会调节和使用天平。 称量 n 个小钢球的质量，或教师指定的物体的质量。 2. 用量筒“量出” 圆周率 2. 用量筒“量出” 圆
10、周率 41. 测量 n 个小钢球的直径 D ； 2. 在量筒中装入适量的水，记录水的体积 ； 1V3. 将 n 个小钢球放入量筒中，在小钢球全部浸入水的情况下，记录钢球和水的总体积。 2V4. 计算圆周率的 数值： 312)(6nDVV （3）3. 用等质量法测量圆周率 （1） 3. 用等质量法测量圆周率 （1） 将方格纸剪成一个半径为 R 的圆形薄片，再剪一个边长为 2R 的正方形薄片。 将圆形薄片放在天平的左托盘上，将正方形薄片放在天平的右托盘上，显然，由于，故有。 224RR方圆mm（2） （2） 将正方形纸片剪去四分之一，如图 10 - 2 - 1 所示。再将它放在天平的右托盘上，由于
11、，在天平上称量的结果一定有。故，可知，得到数值的个位数为 3。 223 RRHRm23圆43（3） （3） 将剪下的边长为 R 的正方形薄片分成 10 等分，剪下若干条，每个长方条的面积为。再将其中一条剪成 10 个大小相等的小方块，每个小方块的面积为备用。如图 10-2-2 所示。 21 . 0R2R01. 0（4） （4） 将长方条逐个放入天平的右托盘上（此时有托盘上已放有 3 个边长为 R 的正方形纸片） ，比较天平的平衡状况。 放入一条、两条 后，比较得知：。因此，有。得到数值的小数位第 1 位是 1。 2222 . 3 1 . 3RRR2 . 31 . 3图 10-2-1 2223
12、4RRR R R R R R R R R R R 图 10 -2 - 2 0.1R2 将边长为 R 的正方块分 成 10 个长方块，将其中一 个长方块分成 10 等分。 0.01R2 5（5） （5） 在放有面积为纸片的右托盘中，逐个加入面积为的小正方形纸片（如图 10-2-3 所示） ，比较天平的平衡状况。当天平两边质量相等时，有 2) 1 . 03(R201. 0RHRnnnHR2 3212)( 即 321nnnn 可得到数值的小数位第二位是 4 。 6（6） （6） 再将面积为为的小方块逐次按 10 等分分解下去， 通过称量比较，可以逐次的到数值的小数位第 3 位、第 4 位。 201. 0R观察思考 1. 如何正确使用天平？ 2. 本实验测定圆周率的设计思想是什么？ 3. 用等质量法测定圆周率时，是否 R 越大，即纸头面积越大，能分割小矩形的次数越多，测得数值的精度就越高？天平的灵敏度越高，测得数值的精度就越高？ 4. 用等质量法测定圆周率时，对纸的厚薄均匀程度要求较高。纸头的厚薄对测量结果的精度产生什么影响？ 5. 试根据你在实验过程中剪取圆和矩形的经验， 分析用等质量法测定圆周率时，对于圆和正方形的精确度有什么要求。 图 10-2-3 测量原理22 32 22 101. 01 . 0mRRnRnRnS总0.12 RR R R R 0.01R2 R 2RS圆
