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1、同角三角函数的基本关系东宁县绥阳中学教学目的：知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关 系式及它们之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函 数值的方法。能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；教学重点：同角三角函数的基本关系式教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用教学过程：一、复习引入：1任意角的三角函数定义： 设角 是一个任意角， 终边上任意一点，它与原点的距离为( , )P x y，那么：， 2222(|0)r rxyxysiny rcosx rtany x2当角
2、分别在不同的象限时，sin、cos、tg 的符号分别是怎样的？3背景：如果，A 为第一象限的角，如何求角 A 的其它三角53sinA函数值；4问题：由于 的三角函数都是由 x、y、r 表示的，则角 的三个三角函数之间有什么关系？二、讲解新课： （一）同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系）1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系： （2）平方关系：consintan1sin22con说明： 注意“同角” ，至于角的形式无关重要，如等；22sin 4cos 41注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；tancot1(,)2kkZ对这些关系式不
3、仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、 变形用） ，如：， ， 等。2cos1 sin 22sin1 cos sincostan2例题分析： 一、求值问题例 1 （1）已知，并且 是第二象限角，求12sin13cos ,tan ,cot（2）已知，求4cos5 sin ,tan解：（1）， 22sincos12222125cos1 sin1 ()()1313 又 是第二象限角， ，即有，从而cos05cos13 ， sin12tancos5 15cottan12 （2）， ，22sincos1222243sin1 cos1 ()( )55 又， 在第二或三象限角。4cos05 当 在第二象
4、限时，即有，从而，；sin03sin5sin3tancos4 当 在第四象限时，即有，从而，sin03sin5 sin3tancos4总结： 1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其 它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的 终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。 例 2已知为非零实数，用表示tantansin ,cos解：，22sincos1sintancos，即有，2222(costan)coscos(1tan)12 21cos1
5、tan 又为非零实数， 为象限角。tan 当 在第一、四象限时，即有，从而cos0，22211tancos1tan1tan；22tan1tansintancos1tan 当 在第二、三象限时，即有，从而cos0，22211tancos1tan1tan 22tan1tansintancos1tan 例 3、已知，求cos2sin cos2sin5cos4sin 解：2tancos2sinQ61 122 2tan54tan cos2sin5cos4sin强调（指出）技巧：1 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、分母转化为的代数
6、式；costan2 “化 1 法”可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次1cossin22式，再利用商数关系化归为的分式求值；tan小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：22coscossin2sin2（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，二、化简 练习 1化简21 sin 440o解：原式221 sin (36080 )1 sin 80ooo2cos 80cos80oo练习 2)23( cos1cos1 cos1cos1
7、 化化简简三、证明恒等式例 4求证：cos1 sin 1 sincosxx xx 证法一：由题义知，所以cos0x 1 sin0,1 sin0xx左边=右边2cos (1 sin )cos (1 sin ) (1 sin )(1 sin )cosxxxx xxx1 sin cosx x原式成立 证法二：由题义知，所以cos0x 1 sin0,1 sin0xx 又，22(1 sin )(1 sin )1 sincoscoscosxxxxxx cos1 sin 1 sincosxx xx 证法三：由题义知，所以cos0x 1 sin0,1 sin0xx，cos1 sin 1 sincosxx xx
8、coscos(1 sin )(1 sin ) (1 sin )cosxxxx xx22cos1 sin0(1 sin )cosxx xx cos1 sin 1 sincosxx xx 总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促 成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它 等于另一边； （2）证明左右两边同等于同一个式子； （3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。四、小 结：本节课学习了以下内容：1同角三角函数基本关系式及成立的条件； 2根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；五、课后作业：习案作业第 五 课时 参考资料 化简1 2sin40
9、 cos40oo解：原式22sin 40cos 402sin40 cos40oooo2(sin40cos40 )|cos40sin40 | cos40sin40oooooo思考 1已知，求)0(51cossin的值。及33cossintan解：1 由),2(0cos,0,2512cossin得：由 联立：57cossin,2549)cos(sin2得：34tan53cos54sin57cossin51cossin 2 12591)53()54(cossin33332、已知 求是第四象限角，,53cos,524sinmm mm的值。tan解：sin2 + cos2 = 1 1)53()524(22 mm mm化简，整理得：8, 00)8(21mmmm当 m = 0 时，是第四象限角不合）与，(53cos,54sin当 m = 8 时，512tan135cos,1312sin，
