《变形构造函数证明不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《变形构造函数证明不等式（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、变形构造函数证明不等式1.（变形构造新函数，一次）已知函数( )(1)lnf xaxax试讨论( )f x在定义域内的单调性；当a1时，证明：12,(0,1)x x，1212|()()|1|f xf x xx求实数m的取值范围解：函数的定义域为(0,)，1(1)( )aaaxfxaxx 当1a 时，增区间为1(,)a a ，减区间为1(0,)a a；当1a0时，增区间为(0,)；当0a 时，增区间为1(0,)a a，减区间为1(,)a a 当a0时，( )f x在区间(0,1)上单调递增，不妨设1201xx，则12120,()()0xxf xf x，1212|()()|1|f xf x xx等
2、价于1212()()f xf xxx，即1122()()f xxf xx构造( )( )g xf xx，则(1)(1)(1)( )1aaxaxg xxx 0(01)x( )g x在(0,1)上是增函数，当1201xx时，12()()g xg x，即1122()()f xxf xx，即1212()()f xf xxx又当a0时，( )f x在区间(0,1)上单调递增，12120,()()0xxf xf x1212|()()| |f xf xxx，即1212|()()|1|f xf x xx2.（2011辽宁理21，变形构造函数，二次）已知函数1ln) 1()(2axxaxf.讨论函数)(xf的单
3、调性；设1a，如果对任意), 0(,21xx，| )()(|21xfxf|421xx ，求a的取值范围.解：( )f x的定义域为（0，+）. 2121( )2aaxafxaxxx .当0a 时，( )fx0，故( )f x在（0，+）单调增加；当1a 时，( )fx0，故( )f x在（0，+）单调减少；当1a0时，令( )fx=0，解得1 2axa .则当1(0,)2axa 时，( )fx0；1(,)2axa 时，( )fx0.故( )f x在1(0,)2a a 单调增加，在1(,)2a a 单调减少.不妨假设12xx，而a1，由知在（0，+）单调减少，从而12,(0,)x x，1212(
4、)()4f xf xxx等价于12,(0,)x x，2211()4()4f xxf xx 令( )( )4g xf xx，则1( )24ag xaxx等价于( )g x在（0，+）单调减少，即1240aaxx .从而241 21xax,设241( )(0),21xh xxx并设411tx ，1 4tx ，288 9292tytttt 82.332 故a的取值范围为（，2.3.（2010辽宁文21，构造变形，二次）已知函数2( )(1)ln1f xaxax.讨论函数( )f x的单调性； 设2a，证明：对任意12,(0,)x x ，1212|()()|4|f xf xxx.解： f(x)的定义域
5、为(0,+)，2121( )2aaxafxaxxx .当a0时，( )fx0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a1时，( )fx0, 故f(x)在(0,+)单调减少；当1a0时，令( )fx0,解得x=1 2a a .当x(0, 1 2a a )时, ( )fx0；x(1 2a a ，+)时，( )fx0, 故f(x)在（0, 1 2a a ）单调增加，在（1 2a a ，+）单调减少.不妨假设x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以1212()()4f xf xxx等价于12()()f xf x4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+
6、4x,则1( )2ag xaxx +42241axxa x.设2( )241h xaxxa，a1，对称轴为1xa ，结合图象知( )h x8 (1) 16(2)(1) 8a aaa aa 0，于是( )g x2441xx x2(21)x x0.从而g(x)在（0,+）单调减少，故g(x1) g(x2)，即 f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2(0,+) ，1212()()4f xf xxx4.（辽宁，变形构造，二次）已知函数f(x)=21x2ax+(a1)ln x，1a .（1）讨论函数( )f x的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若5a ，
7、则对任意x1,x2(0,)，x1x2，有1212()()1f xf x xx .解：(1)( )f x的定义域为(0,).2 11(1)(1)( )axaxaxxafxxaxxx 若11a 即2a ,则2 (1)( )xfxx ，故( )f x在(0,)单调增加。若1 1a ,而1a ,故12a,则当(1,1)xa时，( )0fx ;当(0,1)xa及(1,)x时，( )0fx 故( )f x在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加。若11a ,即2a ,同理( )f x在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加.考虑函数 ( )( )g xf xx21(1)ln
8、2xaxaxx则211( )(1)2(1)1 (1 1)aag xxaxaaxx g （另一种处理）由于1a5,故( )0g x，即g(x)在(4, +)单调增加，从而当120xx时有12()()0g xg x，即1212()()0f xf xxx，故1212()()1f xf x xx ，当120xx时，有12211221()()()()1f xf xf xf x xxxx .（另一种处理）21(1)1( )(1)axaxag xxaxx ，结合二次函数图象设2( )(1)1(15)h xxaxaa24(1)(1) 4aa2(3)6 4a05.已知函数( )1ln (0).f xxax a
9、（1）确定函数( )yf x的单调性；（2）若对任意12,0,1x x ，且12xx，都有12 1211|()()| 4|f xf xxx，求实数 a的取值范围。6.（变形构造）已知二次函数 2f xaxbxc和“伪二次函数” 2g xaxlnbxcx（a、b、,cR0abc ） ，(I)证明：只要0a ，无论b取何值，函数 g x在定义域内不可能总为增函数；(II)在二次函数 2f xaxbxc图象上任意取不同两点1122( ,), (,)A x yB xy，线段AB中点的横坐标为0x，记直线AB的斜率为k， (i)求证：0()kfx；(ii)对于“伪二次函数” 2lng xaxbxcx，是
10、否有同样的性质?证明你的结论. 解：（I）如果0, ( )xg x为增函数,则22( )20caxbxcg xaxbxx (1)恒成立, 当0x 时恒成立, 220axbxc(2) 0,a Q由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.则函数( )g x不可能总为增函数. 3分（II） （i） 22 2121212121()f xf xa xxb xxkxxxx=02axb.由( )2,fxaxb00()2fxaxb, 则0()kfx-5分（ii）不妨设21xx,对于“伪二次函数”: 222 2121 2112121()lnxa xxb xxcg xg xxkxxxx=21 0 21ln 2xcx
11、axbxx, (3) 7分由()中(1) 00 02cgxaxbx ,如果有()的性质，则 0gxk, (4)比较(3)( 4)两式得21210lnxcxc xxx，0,c 即：212112ln2x x xxxx，(4) -10分不妨令21, 1, xttxln2 11t tt， (5)设22( )ln1ts ttt，则22212(1)2(1)(1)( )0(1)(1)ttts tttt t， ( )s t在(1,)上递增， ( )(1)0s ts. (5)式不可能成立,（4）式不可能成立, 0gxk. “伪二次函数” 2lng xaxbxcx不具有()的性质. -12分7.(变形构造，第2问
12、用到均值不等式)已知定义在正实数集上的函数f(x)x24ax1，g(x)6a2lnx2b1，其中a0. 设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大 值； 设h(x)f(x)g(x)8x，证明：若a1，则h(x)在(0,)上单调递增； 设F(x)f(x)g(x)，求证：对任意x1,x2(0,)，x1x2有8. 解：设f(x)与g(x)交于点P(x0，y0)，则有 f(x0)g(x0)，即x4ax016a2lnx02b1. 又由题意知f(x0)g(x0)，即2x04a. 由解得x0a或x03a(舍去) 将x0a代入整理得ba23a2lna. 令s(a)a
13、23a2lna，则s(a)2a(13lna)，a(0,)时，s(a)递增，a(,)时，s(a)递减，所以s(a)s()2 33 2e ，即b2 33 2e ，b的最大值为2 33 2e .h(x)f(x)g(x)8x，h(x)2x4a8， 因为a1，所以h(x)2x4a84a4a84(1)(1)80，即h(x)在(0,) 内单调递增 由知x1x2时，h(x1)h(x2)，即F(x1)8x1F(x2)8x2. 因为x1x2，所以8.8.已知函数1)(xax ，a为正常数若)(ln)(xxxf，且a29 ，求函数)(xf的单调增区间；在中当0a时，函数)(xfy 的图象上任意不同的两点11, yxA，22, yxB，线段AB的中点为),(00yxC，记直线AB的斜率为k，试证明：)(0xfk若)(ln)(xxxg，且对任意的2 , 0,21xx，21xx ，都有1)()(1212 xxxgxg，求a的取值范围解：222) 1(1)2( ) 1(1)(xxxax xa xxfa29 ，令0)( xf得2x或210 x ,函数)(xf的单调增区间为), 2(),21, 0( .证明：当0a时xxfln)(xxf1)( , 210021)(xxxxf ,又121212121212lnlnln
