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1、参数方程的应用参数方程的应用1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1）代入法：利用解方程的技巧求出参数 t，然后代入消去参数。 （2）三角法：利用三角恒等式消去参数 （3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。化参数方程为普通方程为：在消参过程中注意变量、取值范围的一致0),(yxFxy性，必须根据参数的取值范围，确定和值域得、的取值范围。)(tf)(tgxy 2、常见曲线的参数方程（1）过定点倾斜角为的直线的参数方程 （ 为参数）),(00yxP sincos00 tyytxxt（2）圆参数方程 （为参数）222ryx sincosryrx（3）圆参数
2、方程为： （为参数）222 00()()xxyyr sincos00 ryyrxx（4）椭圆参数方程 （为参数）12222 by ax sincosbyax（5）抛物线参数方程 （t 为参数）Pxy22 PtyPtx2227已知：直线 过点，斜率为，直线 和抛物线相交于两点，设线段l)0 , 2(P34lxy22BA,的中点为，求（1）两点间的距离。 （2）点的坐标。 （3）线段的长。ABMMP,MABAB解：由得：，所以直线的参数方程为，代入34tan53cos,54sin为参数t tytx54532化简得：，xy220456 25162tt425,8152121tttt（1）415 221
3、ttPM（2）所以 3415 54417 415 532yx 3 ,417M（3）86554212 21ttttAB10 (1) 写出经过点，倾斜角是的直线 l 的参数方程；)5 , 1 (0M3/(2) 利用这个参数方程，求这条直线 l 与直线的交点到点 M0的距离。032 yx(3) 求这条直线 l 和圆的两个交点到点 M0的距离的和与积。1622 yx解：(1)为参数t tytx 235211(2)3610(3)把代入化简得：为参数t tytx 235211 1622 yx0103512tt，310364212 2121tttttt1021tt1. 设 是椭圆上的一个动点，则的最大值是，
4、最小值是。Pxyxy2312222分析一分析一：注意到变量（x，y）的几何意义，故研究二元函数 x+2y 的最值时，可转化为几何问题。 若设 x+2y=t，则方程 x+2y=t 表示一组直线（t 取不同的值，方程表示不同的直线） ，显然（x，y） 既满足 2x2+3y2=12，又满足 x+2y=t，故点（x，y）是方程组的公共解。依题意，可知直线与椭圆总有公共点。从而转化为研究消元后的一元二次方程的判别式。2312 22022xy xytxyt 解法一：解法一：令， ， 还满足，故xyty23122xy2x2方程组有公共解，消去xytxyx 2231222得 的一元二次方程：yyt yt118
5、212022由解得： 644112120222222tttxy22222的最大值为，最小值为分析二：分析二：由于研究二元函数 x+2y 相对困难，因此有必要消元，但由 x，y 满足的方程 2x2+3y2=12 表出 x 或 y，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有其他途径把二元函数 x+2y 转 化为一元函数呢？方法是利用椭圆的参数方程代入中，即可转化为以xyxyxy226416 22 cos sin 为变量的一元函数。解法二：解法二：由椭圆的方程，可设，2x+ 3y=12x =622cossiny 2代入，得：xyxy2262 222cossinsin其中，由于，所以的最小
6、值为，最大值为tgxyxy6 4112222222222sin注以上两种解法都是通过引入新的变量来转化问题，解法一是通过引入 t，而把 x+2y 几何 化为直线的纵截距的最值问题；解法二则是利用椭圆的参数方程，设出点 P 的坐 标（，），代入中，转化为一元函数求其最值，这两种解法不妨都622cossinxyf称为“参数法” 。2. 求椭圆xyP2294110 上一点 与定点（ ， ）之间距离的最小值2. 解：解：（先设出点 P 的坐标，建立有关距离的函数关系） 设，则 到定点（ ， ）的距离为PPd3210312056553 516 52222cossincossincoscoscos 当时，
7、取最小值cos)3 54 5 5d5设直线 ，交椭圆于 A、B 两点，在椭圆 C 上找一点 P，使022:yxl149:22 yxC面积最大。ABP解：设椭圆的参数方程为，则，到直线为参数 sin2cos3 yxsin2 ,cos3P的距离为：，当，022:yxl52sin552sin4cos3d1sin即时，此时23，所以 58sin259cos3yx 58,59P3.已知实数满足，求的最值。yx,252122yxyxyx2 ,22解：设圆的参数方程为为参数 sin52cos51 yx，最大值与最小值分别是sin51030sin52cos512222yx51030,51030，最大值与最小值
8、分别是 19 与-11。sin154sin52)cos51 (22yx11 求经过点(1，1)，倾斜角为 135的直线截椭圆所得的弦长。1422 yx解：直线的参数方程为代入化简得为参数t tytx 221221 1422 yx022652tt5244212 2121tttttt8. 直线（ 为参数）被双曲线上截得的弦长为。xtyttxy 23122分析与解：分析与解： 方法之一可把直线的参数方程化为普通方程，与双曲线方程联立，消元，再结合韦达定理，利用弦长公式可求得弦长；若不把参数方程化为普通方程，又怎样求弦长呢？注意到直线参数方程不是标准形式，故上述方程中的 不具有显而易见的几何意义，因此
9、有必要先将其化为标准形式：ABkxxxxt yytt 12 12200cos sin 为参数）（ 23212 t tytx 1 23212122 22 ttyx，得：代入06 4 2 tt整理，得：，则，设其二根为 21tt6 4 2121tttt，10240644 4 2 212 2121ttttttAB从而弦长为17已知点和双曲线，求以为中点的双曲线右支的弦 AB 所在的直线 1 , 2M122 2yx 1 , 2M的方程。l解：设所求的直线 的方程为：代入化简得：l为参数 sin1cos2 tytx122 2yx，025sincos4sin21cos222 tt0 sin21coscos
10、4sin2221 tt，所求的直线 的方程为：4tankl094 yx12已知双曲线 G 的中心在原点，它的渐近线方程是过点作斜率为的直线xy214,0P 1 4，使得 和交于两点，和轴交于点，并且点在线段上，又满足llG,A ByCPAB求双曲线的方程；2PAPBPCG解：由双曲线渐近线方程是，可设双曲线的方程为：Gxy21G224xym把直线 的参数方程方程代入双曲线方程，整理得l)(1711744 为参数t tytx ，设对应的参数为，得0161732 17122mttBA,21,tt0161712417322m346m由韦达定理：，mtt1612172116121721mttPBPA令
11、，得17t，由得，01744t17 PC2PAPBPC17161217m28m所以，双曲线的方程为22 1287xy19从椭圆上任一点向短轴的两端点分别引直线，求这两条直线在 x 轴上截距的乘积。14922 yx解 化方程为参数方程：（ 为参数） sin2cos3yx设 P 为椭圆上任一点，则 P(3cos,2sin)。于是，直线 BP 的方程为： cos3cos3 sin22sin2 xy直线 AP 的方程为： cos3cos3 sin22sin2 xy令 y=0 代入 AP，BP,的方程，分别得它们在 x 轴上的截距为， sin1cos3 sin1cos3 故截距之积为：9sin1cos3 sin1cos3
