《工程数学-线性代数第五版答案02》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程数学-线性代数第五版答案02（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 矩阵及其运算1 已知线性变换 3213321232113235322yyyxyyyxyyyx求从变量 x1 x2 x3到变量 y1 y2 y3的线性变换 解 由已知 221321323513122yyyxxx故 3211221323513122xxxyyy 321423736947yyy 321332123211423736947xxxyxxxyxxxy2 已知两个线性变换 32133212311542322yyyxyyyxyyx323312211323zzyzzyzzy求从 z1 z2 z3到 x1 x2 x3的线性变换 解 由已知 221321514232102yyyxxx 321
2、310102013514232102zzz 321161109412316zzz所以有 3213321232111610941236zzzxzzzxzzzx3 设 求 3AB2A 及 ATB 111111111 A 150421321 B解 111111111 2 150421321111111111 323AAB 22942017222132111111111 2 092650850 3 092650850150421321111111111 BAT4 计算下列乘积 (1) 127075321134解 127075321134 102775132) 2(71112374 49635(2) 1
3、23 ) 321 (解 (132231)(10) 123 ) 321 (3) ) 21( 312 解 ) 21( 312 23) 1(321) 1(122) 1(2 632142(4) 20413121013143110412解 20413121013143110412 6520876(5) 321332313232212131211321)( xxxaaaaaaaaa xxx解 321332313232212131211321)( xxxaaaaaaaaa xxx(a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)321xxx 322331132
4、1122 3332 2222 111222xxaxxaxxaxaxaxa5 设 问 3121A2101B(1)ABBA 吗?解 ABBA 因为 所以 ABBA 6443AB8321BA(2)(AB)2A22ABB2吗?解 (AB)2A22ABB2 因为 5222BA 5222 5222)(2BA2914148但 4301 12886 11483222BABA27151610所以(AB)2A22ABB2 (3)(AB)(AB)A2B2吗?解 (AB)(AB)A2B2 因为 5222BA1020BA 9060 1020 5222)(BABA而 7182 4301 1148322BA故(AB)(AB
5、)A2B2 6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若 A20 则 A0 解 取 则 A20 但 A0 0010A(2)若 A2A 则 A0 或 AE 解 取 则 A2A 但 A0 且 AE 0011A(3)若 AXAY 且 A0 则 XY 解 取 0001A 1111X1011Y则 AXAY 且 A0 但 XY 7 设 求 A2 A3 Ak 101 A解 1201 101 1012A 1301 101 120123AAA 101 kAk8 设 求 Ak 001001 A解 首先观察 001001001001 2A 222002012 3232323 003033 AAA 43423434 00
6、4064 AAA 54534545 0050105 AAA kAkkkkkkkkkk0002) 1(121用数学归纳法证明 当 k2 时 显然成立 假设 k 时成立，则 k1 时， 0010010002) 1(1211kkkkkkkkkkkkAAA 11111100) 1(02) 1() 1(kkkkkkkkkk由数学归纳法原理知 kkkkkkkkkkkA 0002) 1(1219 设 A B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是对称矩阵 证明 因为 ATA 所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而 BTAB 是对称矩阵 10 设 A B 都是 n 阶对称
7、矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是ABBA 证明 充分性 因为 ATA BTB 且 ABBA 所以(AB)T(BA)TATBTAB 即 AB 是对称矩阵 必要性 因为 ATA BTB 且(AB)TAB 所以AB(AB)TBTATBA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1) 5221解 |A|1 故 A1存在 因为5221A 1225* 22122111AAAAA故 *|11AAA 1225(2) cossinsincos解 |A|10 故 A1存在 因为 cossinsincosA cossinsincos* 22122111AAAAA所以 *|11AAA cossinsincos(3)
8、145243121解 |A|20 故 A1存在 因为 145243121 A 214321613024 *332313322212312111AAAAAAAAA A所以 *|11AAA 1716213213012(4)(a1a2 an 0) naaaO0021解 由对角矩阵的性质知 naaaAO00 21 naaaA10011211 O12 解下列矩阵方程 (1) 1264 3152X解 1264 31521 X 1264 215380232(2) 234311 111012112 X解 1111012112234311 X 033232101234311 31 32538122(3) 101
9、3 1102 2141X解 111102 1013 2141 X 2101 1013 1142 121 2101 0366 121 04111(4) 021102341010100001100001010 X解 11010100001021102341100001010 X 010100001021102341100001010 20143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组 (1) 3532522132321321321xxxxxxxxx解 方程组可表示为 321153522321321xxx故 0013211535223211321xxx从而有 001321xxx(2) 05231322321321321xxxxxxxxx解 方程组可表示为 012523312111321xxx故 3050125233121111321xxx故有 305321xxx14 设 AkO (k 为正整数)
