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1、全等三角形（复习 ）一、全等三角形1.什么是全等三角形？一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形？2：全等三角形有哪些性质？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得 到它的全等形。（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）全等三角形的周长相等、面积相等。（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。知识回顾：一般三角形 全等的条件：1.定义（重合）法； 2.SSS； 3.SAS； 4.ASA； 5.AAS. 直角三角形 全等特有的条件：HL.包括直角三角形不包括其它形 状的三角形解题 中常 用的 4种 方法三角形全等的判定方法：
2、边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ 可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等（可简写成“AAS”)斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 角形全等（可简写成“HL”)方法指引证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边-找第三边 (SSS)找夹角（SAS)(2):已知一边一角-已知一边和它的邻角找是否有直角 (HL )已知一边和它的对角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角 (
3、AAS)找一角(AAS)已知角是直角，找一边(HL)(3):已知两角-找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边(AAS)练习1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选 择恰当的判定方法 2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方 法之一，证明时要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三 角形中。分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺 什么条件。有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角 的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对 应角 总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。用法：用法： QDOA，QEOB，QDQE点
4、Q在AOB的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用法：用法： QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE二、角的平分线1.角平分线的性质：2.角平分线的判定 ：1.如图：在ABC中，C =900，AD平 分 BAC，DEAB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。12cABDE三.练习 ：2.如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BM是ABC的角平分线,点P 在BM上,ABCPMNDEFPD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. PDPE=PF. 即点P到三边AB、BC、C
5、A的距离相等证明：过点P作PDAB于D， PEBC于E，PFAC于F3.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平 分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上 证明： 过点F作FGAE于G， FHAD于H，FMBC于M GHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC FGFM 又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC FMFHFGFH点F在DAE的平分线上 4.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且 点B，C，D在一条直线上求证：BE=ADED CAB变式：以上条件不变，将 ABC绕点C旋转一定角度 （大于零度而小于六十度） ，以上的结论海成立吗？证明： ABC和ECD都是等边
6、三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ ACE即BCE=DCA在ACD和BCE中AC=BC BCE=DCA DC=EC ACDBCE (SAS) BE=AD5：如图，已知E在AB上，1=2， 3=4，那么AC等于AD吗？为什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在EBC和EBD中1=23=4EB=EB EBCEBD (AAS) BC=BD 在ABC和ABD中AB=AB 1=2BC=BD ABCABD (SAS) AC=AD练习6：如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全 等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：ABCDE
7、F证明： ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF 在ABC和DEF中AC=DFA=DAB=DE ABCDEF （SAS）练习7：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只 写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF已知： EGAF 求证：G FEDCBA高拓展题8.已知AB=AE,AC=AD,ACAD,ABAE;ECAB21 D(2)怎样变换ABC和AED中的一个位置,可使它们重合?(3)观察ABC和AED中对应边有怎样的位置关系?(4)试证EDBC(1)观察图中有没有全等三角形?拓展题9.如图
8、,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEFBCAFED拓展题10.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA ，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。AC EBD要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法：1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段，然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。（ 割）2、把一个三角形移到另一位置， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补）11.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上 ，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点 F，给出下列5个关系式：ADBC， ，DE=EC1=2，3=4， A
9、D+BC=AB。将其中三个关系式作为已知 ，另外两个作为结论，构成正确的命题。 请用序号写出两个正确的命题：（书写形 式：如果那么）（1） ；（2） ；12.如图，在RABC中，ACB=450， BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点 ，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF 的延长线于E，求证：BC垂直且平分 DE.13.已知：如图：在ABC中，BE、CF 分别是AC、AB两边上的高，在BE上 截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG。 求证： ADG 为等腰直角三角形。14.已知：如图21，ADBAC， DEAB于E，DFAC于F， DB=DC， 求证：EB=FC总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应 角”与 “对角”的不同含义；（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字 母要写在对应的位置上；（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等 ；（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
