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1、數學傳播30卷2期, pp. 77-80表示Euler常數的一個級數的導出 和此常數存在性的證明黃見利Euler-Mascheroni常數, 有時只稱為 Euler 常數, 是由數學巨人 Leonhard Euler 在1735年所定義的一個純量 limN(N1Xk=11 k lnN) 。 當時他是以字母 C 來表示。 而且他認為此純量 “worthy of serious consideration”。 以字母 來表示則是由 Mascheroni 在1790年所使用。 Euler在1781年將它計算至16位小數, Mascheroni 則在1790年計算至32位小數。 但Soldner 在1
2、809年計算了24位後, 認為後者在19位小數以後出了錯誤。 終於在1812年, 經由偉大的數學家 Gauss 的指導下, 計算天才 Nicolai 將它算至40位小數, 因而證實了 Soldner的看法。 因此, 為了避免計算錯誤, 數學家通常用兩個不同的計算方法或公式來互相核對。 這個情況在計算圓周率的數值時亦發生過。至今為止, 我們尚無法證明 為有理數或無理數, 超越數則更不用談了。 曾有一則軼聞說, 著名的英國數學家 Hardy 宣稱, 只要有人證明它為無理數, 他願意把在 Oxford 大學的講座職位讓出。 另一位著名的德國數學家 Hilbert 則提到, 擺在全世界這麼多無助的數學
3、家眼前, 這個未解的問題似乎沒有任何方法可行。 Brent 在 1977 年證明若 為有理數, 則分母必大於1010,000。 1997年 Papanikolaou 將此值擴大至 10242,080。很多著名的數學家都計算過 的數值。 除了前面提到的 Euler 和 Gauss 外, Legendre在 1825 年也計算了19位; Shanks 在 1871 年計算了 110位; 數學家兼天文學家, 海王星的發現者之一, Adams 則在1878年計算了263位; Stieltjes 在1887年計算了32位; Knuth 在1962年計算了1,271位; Sweeney 亦在1962年計算
4、了3,566位; Brent 和 McMillan 在 1980年計算了 30,100位; Borwein 在1993年計算了172,000位; Papanikolaou 在 1997年計算了1,000,000位; 目前最高的紀錄是 Gourdon 和 Demichel 在1999年所計算的108,000,000位。本文作者也在1988年時利用一臺8088型個人電腦, 以 Sweeney 的公式為藍本, 計算至28,800位小數。 現在回想起來, 都還感覺與有榮焉。以上的數學史, 讀者可參考 Weisstein 的網站 1及 Gourdon 和 Sebah 的網站 2, 會有更詳盡的說明。77
5、78數學傳播30卷2期 民95年6月已知有許多的公式能用來表示 。 在此我們將導出一條非常簡潔且容易理解, 又涉及 Rie-mann 的 zeta函數的級數公式, 並由此證明 的存在。首先, 我們定義 Riemann 的 zeta 函數為 (s) =Xk=11 ks, s 1。 其次, 我們知道x 1 + x= x x2+ x3 =Xs=2(1)sxs1,|x| (s) (s + 1) 1 和 (s) 為有界 (s 2) 兩事實可知 lims(s) s= 0且(s) s(s+1) s+1。 因此, 利用 Leibniz 的交錯級數審斂定理, 可知Xs=2(1)s(s) s為收斂; 亦即, 確實
6、存在。最後, 我們列出一些較常看見的 的表示公式, 讓讀者品嚐此常數; 或者亦可在 Gourdon和 Sebah 的網站 3找到更多的公式: = Z0etln(t)dt = (1) = Z10ln(ln(1t)dt=Z0et?1 1 et1 t? dt =Z10?1 ln(1 t)+1 t? dt =Z0?1 (1 + t)tet t? dt=Z0?1 (1 + t2)tcos(t) t? dt = 1 Z101 1 + t?Xk=1t2k?dt(Catalan)=1 2+ 2Z0t (1 + t2)(e2t 1)dt(Hermite)=Z101 et e1 t tdt(Barnes)= li
7、mN?N1Xk=11 k lnN? (Euler)= 1 +Xk=2?1k+ ln(1 1 k)? (Euler)= limN? N (1 N)? (Demys)= 1 Xs=2(s) 1) s(Euler)=Xs=2(s) 1)(s 1) s(Euler)= ln2 Xs=1(2s + 1) 4s(2s + 1)(Euler)= 1 ln3 2Xs=1(2s + 1) 1 4s(2s + 1)(Euler-Stieltjes)= 1 Xs=1(2s + 1) (s + 1)(2s + 1)(Glaisher)80數學傳播30卷2期 民95年6月=Xs=2(1)s(s) s(Euler)2+2
8、 6=Z0etln2(t)dt = (1)(Euler-Mascheroni)e= limN1 lnNYpN? 1 1 p?1 (Mertens)6e 2= limN1 lnNYpN? 1 +1 p? (Mertens)參考文獻1. Eric W. Weisstein, Euler-Mascheroni Constant, http:/ 2. X. Gourdon and P. Sebah, The Euler Constant: , http:/putation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.html. 3. X. Gourdon and P. Sebah, Collection of formulae for Eulers constant , http:/putation.free.fr/Constants/constants.html本文作者現就讀於國立臺灣大學數學研究所碩士班
