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1、福师实变函数在线作业一一、判断题（共一、判断题（共 37 道试题，共道试题，共 74 分。）分。）B 1. L 积分下 Newton-leibniz 公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。 A. 错误B. 正确满分：2 分B 2. 三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。 A. 错误B. 正确满分：2 分B 3. 存在0,1上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等 A. 错误B. 正确满分：2 分A 4. 函数 f 在区间a,b上可积的充要条件是 f 在区间a,b上的不连续点集为零测度集. A. 错误B. 正确满分：2 分 A 5. 若对任意有理数 r,X(f=r)都可测，则
2、f 为可测函数. A. 错误B. 正确满分：2 分B 6. 若 f 有界且 m(X)+ nME(|f|=n)=0. A. 错误B. 正确满分：2 分B 10. 若 F 是 R 中一紧集(即有界闭集)且 F 不等于 R，则 F 是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集. A. 错误B. 正确满分：2 分B 11. 三大积分收敛定理是积分论的中心结果。 A. 错误B. 正确满分：2 分B 12. 若 f 有界变差且 g 满足 Lip 条件，则复合函数 g(f(x)也是有界变差. A. 错误B. 正确满分：2 分B 13. 利用积分的 sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各
3、项可以任意重排。 A. 错误B. 正确满分：2 分B 14. R 中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并. A. 错误B. 正确满分：2 分B 15. 积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。 A. 错误B. 正确满分：2 分B 16. 当 f 在(0,+)上一致连续且 L 可积时，则 lim_x-+f(x)=0. A. 错误B. 正确满分：2 分B 17. f 可积的必要条件:f 几乎处处有限，且集 X(f0)有 sigma-有限测度。 A. 错误B. 正确满分：2 分B 18. 若 fL1a,b,则几乎所有的 x 属于a,b均是 g 的 L 点. A.
4、 错误B. 正确满分：2 分B 19. 增函数 f 在a,b上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点. A. 错误B. 正确满分：2 分B 20. 若 f,gAC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g 不为 0),fg,fg 均属于 AC。 A. 错误B. 正确满分：2 分B 21. 若 fBV 当且仅当 f 是两个增函数之差。 A. 错误B. 正确满分：2 分 A 22. 一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. A. 错误B. 正确满分：2 分 A 23. 测度收敛的 L 可积函数列，其极限函数 L 可积. A. 错误B. 正确满分：2 分A 24. 若 f,g
5、BV，则 f/g(g 不为 0)属于 BV。 A. 错误B. 正确满分：2 分B 25. f 在a,b上为增函数，则 f 的导数 fL1a,b. A. 错误B. 正确满分：2 分B 26. 若 f 广义 R 可积且 f 不变号，则 f L 可积. A. 错误B. 正确满分：2 分B 27. fBV，则 f 有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中 p(x),n(x)分别为 f 的正变差和负变 差. A. 错误B. 正确满分：2 分A 28. 若|f|和 f2 都是有界变差，则 f 为有界变差. A. 错误B. 正确满分：2 分B 29. 设 f:R-R 可测，f(x+y)
6、=f(x)+f(y),则 f(x)=ax A. 错误B. 正确满分：2 分A 30. 连续函数和单调函数都是有界变差函数. A. 错误B. 正确满分：2 分A 31. 若 f_n 测度收敛于 f，g 连续，则 g(f_n)也测度收敛于 g(f). A. 错误B. 正确满分：2 分B 32. 可数个 G_delta 集之交和有限个 G_delta 集之并仍是 G_delta 集，但可数个 G_delta 集之并未必仍是 G_delta 集 A. 错误B. 正确满分：2 分B 33. fBV，则 f 至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点. A. 错误B. 正确满分：2 分B 34. 积分的引
7、进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. A. 错误B. 正确满分：2 分A 35. 零测度集的任何子集都是可测集. A. 错误B. 正确满分：2 分B 36. 若 f,gBV，则 f+g,f-g,fg 均属于 BV。 A. 错误B. 正确满分：2 分A 37. 无论 Riemann 积分还是 Lebesgue 积分，只要|f|可积，则 f 必可积. A. 错误B. 正确满分：2 分二、单选题（共二、单选题（共 5 道试题，共道试题，共 10 分。）分。）V B 1. 若 fL(X),则 A. f 在 X 上几乎处处连续B. 存在 gL(X)使得|f|
8、f,a.e.,则 A. fn 依测度收敛于 fB. fn 几乎一致收敛于 fC. fn 一致收敛于 fD. |fn|-|f|,a.e.满分：2 分A 3. 在（ ）条件下，E 上的任何广义实函数 f(x)都可测. A. mE=0B. 0mE+C. mE=+D. 0=mE=+满分：2 分B 4. 下列关系式中不成立的是（ ） A. f(Ai)=f(Ai)B. f(Ai)=f(Ai)C. (AB)0=A0B0D. (Ai)c=(Aic)满分：2 分C 5. 设 g(x)是0,1上的有界变差函数，则 f(x)=sinx-V0x(g)是0,1上的 A. 连续函数B. 单调函数C. 有界变差函数D. 绝
9、对连续函数满分：2 分三、多选题（共三、多选题（共 8 道试题，共道试题，共 16 分。）分。）ABC 1. 设 E1，E2 是 Rn 中测度有限的可测集，则 A. m(E1E2)+m(E1E2)=mE1+mE2B. 若 E1 包含于 E2,mE1=mE2C. 若 E1 包含于 E2,m(E2E1)=mE2-mE1满分：2 分ABC 2. 设 f 为a,b上减函数，则 f 为（ ） A. 有界函数B. 可测函数C. 有界变差函数D. 绝对连续函数满分：2 分BD 3. 若 A 和 B 都是 R 中开集，且 A 是 B 的真子集，则（ ） A. m(A)m(B)B. m(A)=m(B)C. m(
10、BA)=m(A)D. m(B)=m(A)+m(BA)满分：2 分AB 4. 设 fn 与 gn 在 X 上分别测度收敛于 f 与 g，则（ ） A. fn 测度收敛于|f|B. afn+bgn 测度收敛于 af+bgC. (fn)2 测度收敛于 f2D. fngn 测度收敛于 fg满分：2 分 BC 5. 设 E 为 Rn 中的一个不可测集，则其特征函数是 A. 是 L 可测函数B. 不是 L 可测函数C. 有界函数D. 连续函数满分：2 分AD 6. f(x)=sinx/x,x(0,+),则 f(x)在(0,+)上 A. 广义 R 可积B. 不是广义 R 可积C. L 可积D. 不是 L 可积满分：2 分AD 7. f(x)=1,x(-，+),则 f(x)在(-，+)上 A. 有 L 积分值B. 广义 R 可积C. L 可积D. 积分具有绝对连续性满分：2 分ABC 8. 设 f 为a,b上增函数，则 f 为（ ） A. 几乎处处可微B. L 可积C. f可积D. 区间a,b上积分值f(x)dx=f(b)-f(a)满分：2 分
