矩阵论(正本)

《矩阵论(正本)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵论(正本)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 1 矩阵论第第 1 章章 线性空间和线性变换线性空间和线性变换1.1 线性空间线性空间一个数域 F 上的非空集合 V，V 的元素为 a、b、c，定义两种运算，一种是 V 内元素的加法，一 种是 V 内元素与 F 域上元素的数乘，这两种运算满足加法交换律、结合律、分配律。线性空间中 0 元 素唯一（具体形式未必是 0） ，某元素的负元素唯一。 实线性空间、复线性空间 最大线性无关组，基表示线性空间，维数，向量在某基下的坐标， a=X，a=Y，=C，X=CY N 维线性空间一组向量线性相关/无关，等价于在该空间某基下坐标线性相关/无关 子空间：V 中子集 W，W 的元素关于 V 中的线性运算仍然

2、构成一个线性空间 零空间 N(A)=X|AX=0，列空间 R(A)=LA1,A2,AN都是 Fn 的子空间 交空间、和空间，并运算的结果却未必是子空间 直和子空间：线性无关组分成两部分组成两个子空间，W1W2=0，直和子空间，0 的表达唯一，即 0=w1+w2，w1W1，w2W2。1.2 内积空间内积空间定义了内积的线性空间，内积的结果是数域上的元素。 内积运算的 3 个性质：对称性（共轭转置） 、线性性、正定性。 实内积空间，欧式空间欧式空间，向量长度欧几里得范数 复内积空间，酉空间酉空间 两个向量在同一个基下不同的坐标 X，Y，因此两个向量的内积通过坐标联系，并产生了一个矩阵 A， （，）

3、=YHAX，该矩阵 A 为共轭转置相等的矩阵，即 Hermite 矩阵，而正定的 Hermite 矩阵又成 为 Grame 矩阵。 正交补子空间正交1,0,ijijij 夹角 =acos(,)/| 内积与矩阵运算的转化： a=X=ixi，b=Y=iyi(a,b)=YHAX(,)iix yij 1.3 线性变化线性变化T()，像与原像2 线性变换：加法和数乘 零变换，把所有的向量变成零向量；恒等变换；微分变换是线性变换，而积分不是 线性变换把线性相关组变成线性相关组，但不能保持线性无关性不变。 两个或多个线性变换的乘积、和、数乘仍是线性变换，线性变换可逆。 线性变换 T 在某基下的矩阵 A，T

4、与 A 一一对应。T=A 向量的坐标 X，T 后的坐标 Y，则 Y=AX 不变子空间：子空间 W，T，T（）W 正交变换：T 为线性变换，若 T 不改变向量的内积，即（T（） ，T（） ）=（，） ，则 T 为内积空间 上的正交变换，若空间为欧式空间，则称正交变换正交变换，若为酉空间，则为酉变换酉变换。 正交变换=保持向量长度不变=将标准正交基变为标准正交基 正交矩阵行列式值为1，酉矩阵模长为 1，正交矩阵正交矩阵 C-1=CT、酉矩阵、酉矩阵 C-1=CH。 T 在某两组基下矩阵分别为 A，B，Ti=iA，Ti=iB，i=iC，则 B=C-1AC 直和补子空间矩阵分割对角矩阵第第 2 章章

5、Jordan 标准型标准型2.1 线性变换的对角矩阵表示线性变换的对角矩阵表示T 在某两组基下矩阵分别为 A，B，Ti=iA，Ti=iB，i=iC，则 B=C-1AC 若线性变换 T 在某组基i下的矩阵 A 为对角阵 diagi，即 T（）=ii，则 为特征值，特征向量 i。 任一组基i变换到i，有i=iX，T（）=iA=iAX=i=iX 有 AX=X， 仍是特征量，X 为 A 关于 的特征向量，T 的特征向量iX 特征子空间：i中极大线性无关组张成线性空间，为特征子空间，注意，该空间包括特征子空间，注意，该空间包括 02.2Jordan 矩阵的求法矩阵的求法代数重数：特征值重根的数量； 几何

6、重数：同一个特征值对应特征向量的极大限线性无关数量。 （1） 、求|I-A|=0 的特征多项式和特征值，相异的特征值分属不同的 Jordan 块，而某个特征值的重根 数（代数重数）决定了该 Jordan 快的阶数（该 Jordan 块还包括若干子块） （2） 、对每个不同的特征值 i 求特征向量，根据式（A-iI）X=0，求的最大线性无关向量组，如果是 有代数重数的特征值，则无关组的个数（几何重数）决定了该特征值的分块数无关组的个数（几何重数）决定了该特征值的分块数，注意，如果是无重根 的特征值，则也是有可能有一个以上的特征向量 （3） 、若几何重数小于代数重数，则根据递推式确定广义特征向量，

7、直到递推过程不相容。 (A-iI)1=0 (A-iI)2=1 (A-iI)3=2 （4） 、上述特征向量和广义特征向量构成 Jordan 链，组成可逆矩阵 P，有 JA=P-1AP3 2.3 最小多项式最小多项式矩阵多项式：矩阵为元素代入多项式，进行多项式运算 多项式矩阵：矩阵内元素为多项式 A 和 g（A）：特征值相同，A 的相似阵 B，有 P-1AP=B，则 g(A)也相似于 g(B)，有 P-1g（A）P=g(B)， 若 A 为对角阵，则 g（A）也为对角阵。，则1 1 ( )1J OO(1)( ) ( )( )(1)! ( )( ( )( )( )( )rgggr gg Jggg LL

8、MOOM化零多项式：矩阵 A 或线性变换 T 代入运算为零的多项式，如 A 的特征多项式 f（） 最小多项式 mT：化零多项式中，次数最小，首项系数为 1. 最小多项式与特征多项式具有相同的根，最小多项式在 T 或 A 的某特征根上的阶次与 T 或 A 的 Jordan 标准型在某特征根上最高的某特征根上最高的 Jordan 子块阶数子块阶数相同，注意，是子块的最高阶数，而不是几何重数 或代数重数，几何重数决定了同一特征根的 Jordan 块的分块数 几何重数的判断：A 为 n 阶，i，rank（A-i）=r，几何重数=n-r，i 对应 n-r 个 Jordan 分块第三章第三章 矩阵分解矩阵

9、分解3.1 常见矩阵标准型和矩阵分解常见矩阵标准型和矩阵分解等价标准型，A 为矩阵，不一定是方阵为矩阵，不一定是方阵，P、Q 可逆0IAPQ相似标准型，A 为为 n 阶方阵阶方阵1 1nAPP O3.1.1 矩阵的三角分解 采用 Gauss 消元法，通过初等变换，进行 LU 和 LDV 分解。通过左乘进行行初等变换。LU 分解：，下三角上三角1111121314212222232431323333344142434444luuuulluuuALUllluullllu 4 LDV 分解：111121314 211212324 313213134 414243141duuu lduuALDUlld

10、u llld 对角线元素为 1 的下三角和上三角，以及对角阵。LU 和 LDV 的分解一般不唯一。若 A 的顺序主子式 都不为零，则 LDV 分解唯一。 满秩分解 (LU)矩阵和增广矩阵初等行变换高斯肖元矩阵和增广矩阵初等行变换高斯肖元：A|EU|P，PA=U，A=P-1U 初等变换中：行变换对应左乘，列变换对应右乘，如上，有 PA 3.1.2 矩阵的满秩分解 mn 阶矩阵 A 分解成列满秩矩阵 B 和行满秩矩阵 C：A=BC。A 秩 r，则 B 为 mr 阶，C 为 rn 阶。同样构建增广矩阵进行初等变换， ，即 PAQ0000000mnIrPAIIQ11 0IrAPQ左乘行变换，右乘列变换

11、。或将 A 进行初等变换求出阶梯矩阵0CPA第三种方法使用 Hermite 标准型，即每一行首个非零元素为 1，且该列其它元素为零，阶梯型矩阵。 根据 Hermite 标准型，取行首非零元素 1 所在的列对应到 A 中列向量，构成 B，而 Hermite 标准型中 所有非零行构成 C。3.1.3 对角化谱分解 A 的特征值既是的特征值既是 A 的谱的谱 谱分解：依照特征值，把相似矩阵相似成的对角矩阵分解为矩阵和 A=P-1DP，所有 Qi 之和为单位矩阵，Qi 还是幂等矩阵00iriiiDIQ 20iiijQQQQ3.2 Schur 分解与正规矩阵分解与正规矩阵正交矩阵正交矩阵 C-1=CT、

12、酉矩阵、酉矩阵 C-1=CH, 正交相似、酉相似正交相似、酉相似 实对称，共轭转置对称的 Hermite 矩阵 实对称矩阵正交相似于对角阵实对称矩阵正交相似于对角阵 A=CDCT，而，而 Hermite 矩阵酉相似对角阵矩阵酉相似对角阵 A=UDUH。 任意方阵都能相似与他的 Jordan 标准型 方阵 A 可逆，其列向量组构成矩阵空间的一组基，进行 Schur 正交化可得标准正交基，i=i R=UR，其中 R 为上三角矩阵，U 为酉矩阵。 Schur 分解：对任意分解：对任意 n 阶方阵阶方阵 A，存在 A=PJP-1，P 可逆则有 P=UR，有 A=URJR-1UH= UTUH。即任意 n

13、 阶方阵 A 都能酉相似一个上三角阵 T，且该三角阵的主对角线元素全为 A 的特征值，当 n 阶方阵为 正规矩阵时，酉相似一个对角阵。5 正规矩阵正规矩阵：n 阶方阵 A，有 AAH=AHA。 常见的正规矩阵有对角阵、对称与反对称矩、Hermite 与反 Hermite 矩阵、正交矩阵酉矩阵 A 为正规矩阵的充分必要条件是：为正规矩阵的充分必要条件是：A 酉相似与对角矩阵酉相似与对角矩阵 D3.3 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解A 为 mn 阶矩阵，新矩阵 AHA 或 AAH都是 Hermite 矩阵，从而也是正规矩阵，他们的特征是记为i，则就是矩阵 A 的奇异值，或称奇值。iiAHA 或

14、AAH的秩与 A 的秩相等，AHA 或 AAH的非零特征值相等，都是半正定矩阵，即特征值0. 若若 A 为方阵，则概述奇异值相关不一定成立为方阵，则概述奇异值相关不一定成立。 正规矩阵 A 的奇异值为其特征值的模，正定的 Hermite 矩阵的奇异值为其特征值，酉等价的矩阵其奇 异值也相等。奇异值分解：任意矩阵 A，秩 r，存在酉矩阵 U 和 V，有，其中 为 A 的奇异值组0HAUV成的正定的对角阵。奇异值分解中 U 和 V 不唯一。 MATLAB 中为中为 svd 函数函数。第四章第四章 矩阵的广义逆矩阵的广义逆Moore-Penrose 广义逆4.1 左逆与右逆左逆与右逆A 存在左逆矩阵

15、 B，BA=I，A 左可逆列满秩AHA 可逆 存在右逆矩阵，有可逆行满秩AAH可逆 如果矩阵存在左逆或者右逆，则左逆或右逆矩阵不惟一左逆或右逆矩阵不惟一4.2 广义逆矩阵广义逆矩阵减号广义逆减号广义逆/1-逆逆：对任意矩阵 A，若 AGA=A，则 G 为 A 的一个减号广义逆，记为 A-，A 的全部广 义逆的集合记为 A1。减号广义逆不唯一。减号广义逆求法：，则 PAQ=，减号广义逆 G=，uvw 任1200AIIPIQ0Ir IruQPvw 意。 秩 A=秩 A-，AA-和 A-A 都是幂等矩阵 Moore-Penrose 广义逆广义逆/加号广义逆加号广义逆：对任意矩阵 A，若 AGA=A，GAG=G，(AG)H=AG，(GA)H=GA， 则称 G 为 A