瞬时功率的变化规律

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1、1图图 1瞬时功率的变化规律瞬时功率的变化规律【摘要摘要】用极端法，数学方法讨论了一个具体问题中的瞬时功率的变化规律。用极端法，数学方法讨论了一个具体问题中的瞬时功率的变化规律。【关键词关键词】瞬时功率，变化规律，极端法，数学瞬时功率，变化规律，极端法，数学 方法方法【正文正文】如图如图 1 所示，一质量为所示，一质量为 m 的小球被长为的小球被长为 L 的线的线 悬挂起来，初始时，悬线水平，然后由静止释放悬挂起来，初始时，悬线水平，然后由静止释放 小球。讨论小球从开始至摆到悬点正下方的过程小球。讨论小球从开始至摆到悬点正下方的过程 中重力的瞬时功率的变化规律。中重力的瞬时功率的变化规律。用极

2、端法分析：重力的功率等于重力乘以重力方用极端法分析：重力的功率等于重力乘以重力方 向上的速度。初始时由于重力方向上的速度是零，向上的速度。初始时由于重力方向上的速度是零， 因而功率为零。到达悬点正下方时，两样有重力因而功率为零。到达悬点正下方时，两样有重力 方向的速度为零，因而功率为零。但在中间某个方向的速度为零，因而功率为零。但在中间某个 位置时，物体在重力方向的速度不为零。因而功率不为零。综上所述，在小球由静止运动位置时，物体在重力方向的速度不为零。因而功率不为零。综上所述，在小球由静止运动 至最低点的过程中，重力的瞬时功率是先增大后减小的。至最低点的过程中，重力的瞬时功率是先增大后减小的

3、。由此题可以演生出另外一个问题。由此题可以演生出另外一个问题。长为长为 L 的绳子两端各系有一个质量为的绳子两端各系有一个质量为 m 的小球，如图的小球，如图 2 所示，绳子的正下方距离所示，绳子的正下方距离 h 处有处有 一个钉子一个钉子 O。两球同时由静止释放，讨论绳子碰钉子后，。两球同时由静止释放，讨论绳子碰钉子后， 重力对小球做功瞬时功率的变化规律。重力对小球做功瞬时功率的变化规律。与上一个问题的不同点在于，小球开始摆动的时候具有与上一个问题的不同点在于，小球开始摆动的时候具有 初速度。且由于不知道初速度。且由于不知道 h 的具体的数值，因此其初速度的具体的数值，因此其初速度 具有有确

4、定性。具有有确定性。当其初速度比较小时，可以像分析第一个问题一样进行当其初速度比较小时，可以像分析第一个问题一样进行 分析。但是，当小球的初速度很大时，绳子跟钉子碰撞分析。但是，当小球的初速度很大时，绳子跟钉子碰撞 后绳子中就会产生很大的力，保证小球做圆周运动。此时若绳子拉力的竖直分力大于重力，后绳子中就会产生很大的力，保证小球做圆周运动。此时若绳子拉力的竖直分力大于重力， 则在竖直方向上做减速运动。重力做功的瞬时功率将减小。这就是说，这种可能性是存在则在竖直方向上做减速运动。重力做功的瞬时功率将减小。这就是说，这种可能性是存在 的：绳子一旦碰到钉子，重力做功的瞬时功率就减小。但是，我们也可以

5、知道，当绳子与的：绳子一旦碰到钉子，重力做功的瞬时功率就减小。但是，我们也可以知道，当绳子与 钉子接触瞬间，绳子是水平的，从而无论绳子的拉力有多大，小球竖直方向受到的合力仍钉子接触瞬间，绳子是水平的，从而无论绳子的拉力有多大，小球竖直方向受到的合力仍 等于重力，其竖直方向加速度仍为等于重力，其竖直方向加速度仍为 g。小球在竖直方向上应该加速，从而得到结论：重力。小球在竖直方向上应该加速，从而得到结论：重力 做功的瞬时功率先增大后减小。做功的瞬时功率先增大后减小。下面用数学方向进行讨论。下面用数学方向进行讨论。mmLh图图 22如上图所示，由机械能守恒定律可求得小球运动到如上图所示，由机械能守恒

6、定律可求得小球运动到 如图所示位置的速度如图所示位置的速度（1）( + 2)=1 22重力做功的瞬时功率重力做功的瞬时功率（2） = （1）（）（2）联立可得）联立可得（3） = 2( + 2)化简为：化简为： = 2cos2 + cos2sin只需讨论上式根号下物理量的变化规律，令只需讨论上式根号下物理量的变化规律，令 = 22 + 2有有 = 2(1 2)+ (1 2)整理可得整理可得 = 3 22 + + 2对对 求导数，有求导数，有= 32 4 + =( 32 4 + )令令，则上式中小括号内是关于，则上式中小括号内是关于 x 的二次式的二次式 = 令令，有，有= 032+ 4 = 0图图 3h 2m 3 = 4 162+ 1226= 2 42+ 323其中的正根其中的正根 =3 + 4()2 2()30时，时，。说明。说明时，有时，有 y 的极大值。的极大值。 0 0 = 0