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1、案例分析与教师发展案例分析与教师发展（教学案例）（教学案例）陕西师范大学数学系 罗增儒 邮编 710062电话 029-85308872 13609297766E-mail：zrluosnnueducn主题主题：建议通过案例分析来促进教师的发展，既解决工作中的实际问题，又促进个人的专业发展期望期望： 领会三个名词：案例，案例教学，案例研究；参与一个行动：案例分析（校本教研的具体形式）；带走一个信念：我要进行、也能进行案例研究我将采用讲故事（数学聊天、也叫摆龙门阵、侃大山、唠嗑）和交流讨论的方式来进行，即（教育叙事）通过教育事件的描述，发掘内隐于其背后的思想与意义1 案例分析的初步认识案例分析的
2、初步认识本来，可以先给出界定，然后举例说明，但我不这样做，我将用分析案例的方式来说明案例分析1-1 通过通过分析分析案例来说明案例案例来说明案例分析分析先做两个数学练习（一个解题的、一个编题的），再讲一个教学故事（关于三角形内角和的教学），可以认为是学习“案例分析”相关概念和做法的情境创设1-1-1 解题练习解题练习 1：自行车问题：自行车问题目的：经历解题案例例例 1-1 一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶 5000后报废，若安装在后轮则行驶 3000后报废如果行驶kmkm一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少？ km请用方程或算术等多种方法求解
3、 （求解后想想如何教学生）解法解法 1 解法解法 2解法解法 3（困难：总磨损量不知道，什么时候交换不知道，拿什么做等量关系不清楚，属于什么题型不清楚，） 如果你不能求解，没关系，请先做第 2 题例例 1-1-2 一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段 5000 小时完成，乙工程队干后半段 3000 小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计） ，使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？（属于什么题型？中途交换如何处理？）如果你能求解请返回做第 1 题；如果你也不能求解第2 题，没关系，请先做第 3 题例例 1-3
4、 一件工程，甲工程队干一半需 5000 小时，乙工程队干一半需 3000 小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？（中途交换去掉了，属于什么题型？）如果你不能求解第 3 题，请看第 4 题；如果你能求解请返回做第 2、1 题 例例 1-4 一件工程，甲工程队干需 10000 小时，乙工程队干需 6000 小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 这是标准的工程问题了有1375011 100006000 L最终至少要用两个以上的解法完成第 1 题希望完成之后能谈谈感想，想说什么就说什么说明说明 1：关于解法：关于解法解法解法 1 （方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为
5、 ，则安装在前轮的轮胎每行驶 1的磨损量为，安kkm5000k装在后轮的轮胎每行使 1的磨损量为又设一对新轮km3000k胎交换位置前走了、交换位置后走了，分别以一个akmb km轮胎总磨损量为等量关系列方程，有（方程组）, 50003000, 50003000kakbkkbkak 两式相加，得2 ,50003000k abk abk则 （） 250003000kabkk 2375011 50003000 km反思反思 1：这个解法缺什么设什么（） ，以一个轮胎, ,k a b总磨损量为等量关系，可以求解但（1）都只有辅助, ,k a b的作用，而等量关系也被、代替了，能不能一开始就简化？（解
6、法 2） （2）由式中的，我们看2375011 50003000 到了一种结构工程问题 （解法 3）解法解法 2 （方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为 ，则安装在前轮的轮胎每行驶 1的磨损量为，安kkm5000k装在后轮的轮胎每行使 1的磨损量为又设一对新轮km3000k胎可走xkm，则一对轮胎分别在前后轮各走了（参见下表） ，xkm有（可以不列方程组，可以不用，列方程就行了）, a b2 ,50003000kxkxk前轮后轮合计说明 甲轮5000ka 3000kbk乙轮 5000kb 3000kak合计 5000kx 3000kx2k不管甲轮 还是乙轮 作前（后） 轮，磨损 率是一样
7、的，交换 是非实质 的则 （） 250003000kxkk 2375011 50003000 km反思反思 2：这个解法中 只有辅助作用，能不能去掉，怎k 么去？另外，由及上式中的，我们看到了2375011 50003000 一种结构工程问题 解法解法 3 （算术解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量 为 1，则一对新轮胎报废时的总磨损量为 2；又由已知得， 安装在前轮的轮胎每行驶 1的磨损量为，安装在后轮km1 5000 的轮胎每行驶 1的磨损量为，进而，每 1一对轮胎km1 3000km磨损量为；用总磨损量除以单位磨损量可得“一对11 50003000新轮胎同时报废最多可行驶” （） 2375
8、011 50003000 km这是什么题型？工程问题，调和平均，反比例函数模 式. 反思反思 3：这是在、中取， 只能取 1250003000k kk1k k吗？解法解法 4 （技巧解法）假设自行车行驶了 15000，则km前轮用了 3 个，后轮用了 5 个，共报废 8 个，所以，一对新轮胎同时报废能行驶（）. 1500037504km反思反思 4：由：由、相减可得相减可得，有，有ab解法解法 5 设一对新轮胎交换位置后同时报废时自行车共行驶了，我们不妨设想自行车的车把和车座都可以旋转，Skm用人和车的掉头代替前、后轮交换的装卸当自行车行驶到时，前轮的磨损量恰好是后轮的磨损剩余量，前轮的2Sk
9、m磨损剩余量恰好是后轮的磨损量，如果此时旋转车把和车座掉头返回出发地，就交换了前、后轮，再行驶回到出2Skm发地时一对新轮胎同时报废于是，一个新轮胎的总磨损量 前进的磨损量 返程的磨损量，2Skm2Skm有 ， 22150003000SS得 1375011 2 50002 3000S 更多解法：解法解法 6 说明说明 2 （1）这是一个“亲身参与”的解题教学案例，体现解题教学是解题活动的教学，当中有化归的教学设计：如果你不能求解第 1 题，请先做第 2 题；如果你能求解第 2 题请返回做第 1 题，如果你也不能求解第 2 题，请先做第 3 题；如果你能求解第 3 题请返回做第 2、第 1 题，
10、如果你也不能求解第 3 题，请先做第4 题；一路化归为基本题型把一个未解决或较难解决的问题化归为已接近或较易解决的问题揭示深层结构的意图：自行车问题有工程问题的深层结构可列表说明如下：自行车问题工程问题一对自行车轮胎的磨损（感一件工程（感觉工程有建设性）可见， “自行车问题”与“工程问题”有相同的结构这样一来，就激活了原有的知识经验，一般性的“工程”模式就可以具体指导特殊性的“自行车”磨损问题，更反映问题深层结构的解法也水到渠成沟通一题多解内在联系的目的觉磨损有破坏性）磨损量（从新轮胎到报废）工程量（完成一件工程）轮胎分为前轮、后轮工程分为前段、后段前轮、后轮磨损量相等（一个轮胎的磨损量为定值
11、是隐含条件）前段、后段工程量相等（工程平均分为前、后两段是已知条件）前轮行驶 5000报废km甲工程队干前段 5000 小时完成后轮行驶 3000报废km乙工程队干后段 3000 小时完成如果行驶一定路程后，交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废（交换前、后轮胎好像是实质的，否则，怎能“使一辆自行车的一对新轮胎同时报废”？）如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换，使前、后两段同时完工（甲、乙两工程队交换不交换是非实质的，使前、后两段同时完工即可）这辆车将能行驶多少？km整个工程几小时完成？ 从原解法出发，上面呈现了方程、算术、技巧三类解法，
12、我们说三类解法不是各别孤立的请看式（）250003000kabkk 2375011 50003000 km这是方程解法，约去 （即令）便是工程解法，取k1k ，就是技巧解法所以，三类解法是可以沟通15000k 的也惟有沟通不同解法的联系，我们才能洞察问题的深层结构，领悟数学的本质（模式）说明说明 3 3：（1）这是一个“亲身参与”的解题教学案例 （2）我们通过这个故事来启引大家认识案例、关注案例研究，实际上是在进行“案例教学” （3）讲这个有趣的故事、分析提炼内蕴于其背后的思想、意义与道理，就是案例研究 1-1-2 案例案例 1 根据图象编一个故事（编题）根据图象编一个故事（编题）目的：经历案
13、例研究第第 1、事实的陈述、事实的陈述例例 2-1 如图 1，表示某人从家出发任一时刻到家的距离（s）与所花时间（t）之间的关系，请根据图象编两个故事 （学员练习、讨论） 图 1讲解讲解 （1）在新疆的一次听课中（2004 年） ，同学们说的故事很多，也得到教师的完全认可，但抽象出来的运动特征基本上都是： 在线段上匀速直线运动；OP在线段上静止；PQ在线段上匀速直线运动QR课后与教师交流时，我问为什么“在上静止？”，PQ教师认为，到家的距离不变，所以是静止我说，到家的距离不变就是“到定点（家）的距离为定长（不变）”，这样的点一定是定点吗？教师立即反应过来这里的认识封闭在于，面临“到一定点的距离
14、为定长”的数学情景时，只想到静止、想不到运动（轨迹！圆周运动，空间为球），数与形的双向流动不够通畅从知识上看，可能还有“距离”与“路程”的混淆：随着时间的推移而路程不变，当然是静止，但随着时间的推移而距离不变，则可能是静止也可能是运动在、上也可以非直线运动，距离匀速便可OPQR（2）值得注意的是，这是“一个很普遍的认识封闭现象”（被一些教师称为“可能会封闭一辈子”的问题），我们在杭州骨干教师培训班（2005 年）、本科生（选修课上）、中学生中进行过多次测试，能回答圆周运动（空间为球）的极为个别，每一次都“几乎全军覆没”（认识封闭 1）并且，当我们进一步问会有多少种运动方式时，也存在认识封闭现象
15、，也经常“几乎全军覆没”，普遍没考虑到在圆周上既可以运动又可以静止，既可以前进又可以来回走动，既可以原路返回又可以另路返回（认识封闭 2）这一认识封闭现象在书本或考试题中亦有反映，就是说“明确知识的认识封闭现象”专家也不能幸免请看例例 2-2 （2003 年，陕西中考）星期天晚饭后，小红从家里出去散步， 如图 2 描述了她散步过程中离家的距离（米）与散步所用的时间t（分）之间的函数关系依据s图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ）图 2（A）从家出发，到了一个公共阅读栏，看了一会儿报，就回家了（B）从家出发，到了一个公共阅读栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了（C）从家出发，一直散步（没有停留）， 然后回家（D）从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 分钟后才开始返回这类试题源于课标与教材，设计了生活情景，考察了数学的核心知识函数，题目
