高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

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1、1一基本原理 1加法原理：做一件事有 n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2乘法原理：做一件事分 n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二排列：从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一 .mnm nA有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.!121mnnmnnnnAmn 2. 规定：0!1(1)!(1)!,(1)!(1)!nnnnnn(2) !(1) 1!(1)!(1)!n nnnnnnnn；(3)1 11111 (1)!(1)!

2、(1)!(1)!(1)!nnn nnnnnn 三组合：从 n 个不同元素中任取 m（mn）个元素并组成一组，叫做从 n 个不同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。1. 公式： CA An nnmmn m nmnmnmmm11! !10nC规定：组合数性质：. 2nn nnnm nm nm nmn nm nCCCCCCCC210 11，； 111 12111212211rrrrrrrrrrrrrrr rrrnnrrrnnrrnnnCCCCCCCCCCCCCCC LLL注： 若12mm 1212m =mm +mnnnCC则或四处理排列组合应用题 1.明确要完成的是一件什么事（审题

3、） 有序还是无序 分步还是分类。 2解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：直接法； 间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集， 所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分 类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：元素分析法；位置分析法。 3排列应用题： （1）穷举法（列

4、举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全

5、排列数。 即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右 到左排列，则只有 1 种排法；若不要求，则有 2 种排法； （6）“小团体”排列问题采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）数字问题（组成无重复数字的整数） 能被 2 整除的数的特征：末位数是偶数；不能被 2 整除的数的特征：末位

6、数是奇数。能被 3 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数； 能被 9 整除的数的特征：各位数字之和是 9 的倍数能被 4 整除的数的特征：末两位是 4 的倍数。 能被 5 整除的数的特征：末位数是 0 或 5。 能被 25 整除的数的特征：末两位数是 25，50，75。 能被 6 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数的偶数。 4组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2） “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，

7、得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。2随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。 5隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题 例 1.电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同 的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有 A22种；中间 4 个为不同的商业广告有 A44种，从而应当填 A22A4448. 从而应填 48 例

8、 3.6 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？解一：间接法：即6554 65547202 12024504AAAA 解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.(1) 甲排在最右端时,有5 5A种排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有1 4A种排法，乙有1 4A种排法，其他人有4 4A种排法，共有1 4A1 4A4 4A种排法，分类相加得共有5 5A+1 4A1 4A4 4A=504 种排法例.有 4 个男生，3 个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？分析一：先在 7 个位置上任取 4 个位置排男生

9、，有 A4 7种排法.剩余的 3 个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有 1 种排法，故共有A4 71=840 种.1.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有333 94570CCC种,选.C解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有2112 545470C CC C台,选 C. 2从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛奎屯王新敞新疆（1）如

10、果 4 人中男生和女生各选 2 人，有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中 的乙必须在内，有 种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内，有 种选法； （4）如果 4 人中必须既有男生又有女生， 有 种选法奎屯王新敞新疆 分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.解：（1）先从男生中选 2 人，有2 5C种选法，再从女生中选 2 人，有2 4C种选法，所以共有22 54C C=60（种）；（2）除去甲、乙之外，其余 2 人可以从剩下的 7 人中任意选择，所以共有22 27C C=21（种）；（3）在 9 人选 4 人的选

11、法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：44 97CC=91（种）；直接法，则可分为 3 类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数131322332 171727777C CC CC CCCC=91（种）.（4）在 9 人选 4 人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数444 954CCC=120（种）.直接法：分别按照含男生 1、2、3 人分类，得到符合条件的选法为132231 545454C CC CC C=120（种）.16 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为( ) A40 B50 C60 D70解析 先分组再排

12、列，一组 2 人一组 4 人有 C 15 种不同的分法；两组各 3 人共有10 种不同的分法，所以乘车方法数为 25250，故2 6C3 6 A2 2 选 B. 2有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A36 种 B48 种 C72 种 D96 种解析 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共 A A 72 种排法，故选 C.3 3 2 4 3只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( ) A6 个 B9 个 C18 个 D36 个解析 注意题

13、中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有 C 3(种)选法，即1 3 1231,1232,1233，而每种选择有 A C 6(种)排法，所以共有 3618(种)情况，即这样的四位数有 18 个2 22 3 4男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有( ) A2 人或 3 人 B3 人或 4 人 C3 人 D4 人解析 设男生有n人，则女生有(8n)人，由题意可得 C C30，解得n5 或n6，代入验证，可知女生为 2 人或 3 人2n18n 5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上

14、一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有( ) A45 种 B36 种 C28 种 D25 种解析 因为 108 的余数为 2，故可以肯定一步一个台阶的有 6 步，一步两个台阶的有 2 步，那么共有 C 28 种走法2 8 6某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全 分在同一个部门，则不同的分配方案共有( ) A24 种 B36 种 C38 种 D108 种解析 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有 2 种方法，第二步将 3 名电脑编程人员分成两组，

15、一 组 1 人另一组 2 人，共有 C 种分法，然后再分到两部门去共有 C A 种方法，第三步只需将其他 3 人分成两组，一组 1 人另一组 2 人即可，由于1 31 3 2 2 是每个部门各 4 人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有 C 种方法，由分步乘法计数原理共有 2C A C 36(种)1 31 3 2 2 1 3 7已知集合A5，B1,2，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )3A33 B34 C35 D36解析 所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有 C A 12 个；1 23 3 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C A A 18 个；1 23 33 3 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C 3 个1 3 故共有符合条件的点的个数为 1218333 个，故选 A. 8由 1、2