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1、典型例题一典型例题一例例 1 正六棱锥的底面周长为 24,侧面与底面所成角为,求:(1)棱锥的高;o60(2)斜高;(3)侧棱长;(4)侧棱与底面所成角 分析:分析:本题涉及了正棱锥的若干基本量,可以把基本量放置到直角三角形中,由已知 量求未知量 解:解:正六棱锥的底面周长为 24 正六棱锥的底面边长为 4在正棱锥中,ABCDEFS - 取中点,连,BCHSHBCSH 是正六边形的中心OABCDEF连,则底面SOSOABCDEF BCOH 是侧面与底面所成二面角的平面角,即SHOo60SHO(1)在中,RtSOH3223BCOHo60SHO660tanoOHSO(2)同样在中,斜高,SOH34
2、2 OHSH(3)中,RtSOH6SO4 BCOB13222OBSOSB(4)底面,是侧棱与底面所成角,SOABCDEFSBO同样在中,SOB23tanBOSOSBO23arctanSBO说明:说明:在立体几何中,要善于把长度和角度放到三角形中去解决,正棱锥中有关长度、 角度主要在两上重要的直角三角形中,本题中的方法也可用于其它正棱锥中比如:已知正四棱锥底面边长为,相邻两侧面所成二面角为,求正棱锥的高、斜高、侧棱ao120长正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形,利用这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角,先计算侧棱长为,然后利用底面边长和侧棱长在两个重要的直角三角形中,a23计算出高为,斜高为a
3、21a22典型例题二典型例题二例例 2 如图所示,正四棱锥棱长均为 13,分别是,上的点,ABCDP-MNPABD 且85:NDBNMAPM (1)求证:直线平面;/MNPBC (2)求直线与底面所成角的正弦MNABCD 分析:分析:(1)要证明平面,只需证明/MNPBC 与平面内某一条直线平行为此连并延MNPBCAN长交于,连可考虑证明 (2)BCEPEPEMN / 若能证明,则即为直线与底面PEMN /PEOMN 所成的角解:解:(1)连并延长交于,再连ANBCEPE ,ADBE /NDBNANEN: 又,MAPMNDBN: ,MAPMANEN: ,MNPE / 又平面,平面,平面PEPB
4、CMNPBC/MNPBC (2)设为底面中心,连,则平面又,则OPOEOPOABCDPEMN / 为直线与平面所成的角PEOMNABC由及,得,在中,85:NDBNADBE13AD865BEPBE,由余弦定理,得在中,o60PBE13PB865BE891PERtPOE,则2213PO891PE724sinPEPOPEP说明:说明:本题(2)若直接求与平面所成的角,计算就比较复杂,而平移为MNABCD 求与底面所成的角,计算就易得多可见,平移是求线线、线面所成角的重要方法PE典型例题三典型例题三例例 3 斜三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面111-CBAABCABCo90C成角,点在底面的射影
5、为的中点,o601BDBCcm2BC(1)求证;11BCAB (2)若为的二面角,求四棱锥的体积CBBA-1o3011-BCCBA分析:分析:证关键在于证出其中一条线垂直于另一条线所在的平面;而求棱锥11BCAB 的体积关键在于求出其底面积和高这两个问题可由题设及线与线、线与面的位置关系求 得 解:解:如图所示,(1)平面,DB1ABC底面,ACABCDBAC1,BCAC 平面,ACBCB11BCAC 在底面上的射影为的中点,侧棱与底面成角,1BABCDBCo60四边形是菱形,11BBCC,11BCCB 平面,1BC1ACB11ABBC (2)过作,连结CBBCE1AE平面,ACCCBB11是
6、在平面上的射影,CEAECCBB11,BBAE1是二面角的平面角,AECCBBA-1o30AEC在中,在中,由可得RtBEC360sinoBCECRtACEo90ACE130tan3tanoAECECAC,233121 21CEACSACEACEBACEBBCBAVVV-11EBSEBSACEACE31 311EBEBSACE131131BBSACE223 3133 (体积单位) 3322 111-BCBABCCBAVV说明:说明:证明线线垂直转化成证线面垂直是证明时常用的方法之一,而证线面垂直时又 涉及线与线的垂直,因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终当遇到一线垂直于一 截面,而截面面积
7、又能计算时,将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方 法结果便转化成截面与此线相乘的关系,因而使问题得到简化典型例题四典型例题四例例 4 如图,在三棱锥中,底面,、分别是ABCP-PAABCBCAC DG和的中点,为上一点,且,PAABEPBPBBE3121:ABAP(1)求证:平面;EGCDG (2)求截面分棱锥所成两部分的体积之比CDEABCP- 分析:分析:由底面,可以判定平面平面,PAABCPABABC 且相交于,因为是的中点,且,所以ABGABACBC ,于是有平面,ABCG CGPABEGCG 若证平面,只需与平面中的另一条直EGCDGEGCDG 线垂直就可以了为此,就要从已
8、知的数量关系着手,找到新的线与线的垂直关系平面把三棱锥分成两部分,显然这两部分具有相同的高线所以,CDEABCP-CG 只要找到和四边形的面积之比,就可以确定两部分的体积之比了PDEABED 证明:证明:(1)平面,且平面PAABCPAPAB 平面平面,且相交于PABABCAB 在中,是边上的中线ABCBCAC CGAB 平面ABCG CGPAB 平面,EGPABCGEG 利用两个平面垂直的性质定理可以证明平面CGPAB 在和中RtPABGEB设,则,xPA xAB2xPB3xBE33xBG22,61 322xxPBBG 61 233xxABBE,PBAGBEPABGEB,o90PABo90G
9、EBPBEG PBDG/利用相似三角形的性质,得到o90GEBDGEG ,平面GCGDGIEGCDG解:(2)APBPDPESPDEsin21APBPBPASPABsin21,PAPD21PBPE3213sin21sin21 APBPEPDAPBPBPASSPDEPAB133131- PDEPABPDECPABCSCGSCGVV三棱锥三棱锥12-PDECPDECPABC VVV三棱锥三棱锥三棱锥截面分棱锥为两部分,三棱锥与四棱锥的体积CDEABCP-PDEC -ABEDC - 之比为 1:2典型例题五典型例题五例例 5 四棱锥,侧面是边长为 2 的正三角形且与底面垂直,底面ABCDP-PCD是
10、面积为的菱形,为菱形的锐角 (1)求证:;(2)求二ABCD32ADCCDPA 面角的大小;(3)求棱锥的侧面积与体DABP-ABCDP- 积分析:分析:取中点,侧面底面,从而CDHPCDABCD 可利用三垂线定理转化为证明,线面垂直也CDPA CDHA 为二面角平面角的落实创造了有利条件,棱锥的侧面积DABP-可通过抓侧面三角形的特殊性来解决证明:证明:(1)取中点,连、,CDHPHAH 是等边三角形,PCDCDPH 面底面,底面,PCDABCDPHABCD 等边的边长为 2,PCD2CD菱形的边长为 2,又菱形的面积是,ABCD32,又是锐角,32sin22ADC23sinADCADC,是
11、等边三角形,o60ADCADC,在平面上射影为,CDAH PAACHACDPA 解:解:(2),由(1),ABCD/HACD PACD ,AHAB PAAB 是二面角的平面角,PAHDABP-在中,RtPHA360sin2oAHPH,即二面角的大小为o45PHADABP-o45(3)由(2)在中,可得,RtPHA6PA在中,RtPAB6PA2AB10PB66221PABS在中,可得,PDA2 DAPD6PA215PADS在中,可得,PCD2 BCPC10PB215PBCS又正边长为 2,PCD32432PCDS,3156321526侧S,3PH233231 31PHSV菱形说明:说明:抓线面垂
12、直关系是解决立体几何问题的关键,非特殊棱柱、棱锥的侧面积,往 往要通过逐个计算每个侧面的面积相加而得到,这就需要分析每个侧面的具体特点,比如是否为矩形、直角三角形、等边三角形等可以举一个类似的例子,四棱锥的ABCDV -高为 1,底面为菱形,侧面和侧面所成角为,且都垂直于底面,另两侧面VDAVDCo120与底面都成角,求棱锥的全面积这里由相交平面与都与底面垂直得到o45VDCVDA垂直于底面,利用底面,一方面落实了棱锥的高为,另一方面几VDVDABCD1VD 个二面角的平面角都能方便地落实,四个侧面中,有两个是等腰三角形,有两个是直角三角形,通过计算可得,全面积为22332典型例题六典型例题六
13、例例 6 已知三棱锥中,、与底面所成角相等,ABCP-PAPBPCABC,为中点,点在上且截面,o90CABaPBABACDBCEPB/PCEAD(1)求与底面所成角;(2)求到平面AEABCPC 的距离EAD分析:分析:由、与底面所成角相等可得点PAPBPCP 在面上射影为的外心,由于是直角三ABCABCABC 角形,可以得到面,面可转化为PDABC/PCEAD ,是中点,找出到面的垂线落实DEPC /EPBEABC与面所成角到面的距离可从两方面得到,EAABCCEAD 一方面直接找到面的垂线,另一方面,用等积法可CEAD 求点到面的距离解:解:(1)、与底面成相等的角,设在面上射影为,PA
14、PBPCABCPABCO 则有,PCOPBDPAO ,PAOPBOPCO 且,PCPBPAOCOBOA 是的外心OABC 是直角三角形,且是斜边的中点,ABCOBC 点和点重合,即面,ODPDABC 截面,过的平面与平面交于,/PCEADPCPBCEADED ,是中点,是中点,EDPC /DBCEPB 取中点,则,平面,BDFPDEF /EFABC 为与底面所成角EAFEAABC,aPBPAABaAE23且,aACABo90BACaBC2又,也是等腰直角三角形,aPCPBBPC,aBCPD22 21aEF42在中,RtAEF66 23 42sinaaEAF,即与平面所成角为66arcsinEAFAEABC66arcsin(2)方法一:平面,PDABCADPD 又,平面,BCAD ADPBCPBAD 由(1)是直角三角形,PBCo90BPCPCPB ,平面PCED EDPB PBEAD,aABPBaPE21即到平面的距离为PCEADa21方法二:,平面,PDAD BCAD ADPBC,又,DEAD aBCAD22 21aPBDE21 2