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1、难点 1 打通追及相遇问题的绿色通道追及相遇问题是运动学中两个运动对象的相对运动问题，因运动的对象有两个，且相遇的位置和追及过程中所需的时间的不确定性，导致问题变得复杂化。高考计算题中经常出现追及相遇问题，例如2011年全国新课程卷的第一个计算题就是典型的追及相遇问题。问题中往往涉及到相遇的时间及位移，两者的距离极值等问题。实际上追及相遇问题的两大典型运动情景：两个均做匀变速直线运动；一个做匀变速直线运动，另一个做匀速直线运动。解决此类问题时要分析两个运动的特点，解题的方法上主要有两种基本思想：如果运用物理方法解决，务必要抓住两者速度相同时的这个关键时刻；如果运用数学方法来解决，需要建立两个对
2、象的位移关系方程，通过解含有时间的一元二次方程，并对方程的根的理解确定符合条件的时间。下面分别对两类运动情景的典型例题来尝试用不同方法解决追及相遇问题，并从这些方法中找到一条解决问题的绿色通道。典型运动情境之一：两个均做匀变速直线运动典型运动情境之一：两个均做匀变速直线运动【调研1】甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前， 速度为 v18m/s，乙车在后，速度为 v216m/s，当两车相距 s08m 时，甲车因故开始刹车，加速度大小为 a12m/s2，为避免相 撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？ 方法一：用运动学公式法来求解方法一：用运动学公式法来求解 两车速度相同均为 v
3、 时，设所用时间为 t，乙车的加速度为 a2， 则 v1a1tv2a2ttts0v1v 2v2v 2解得 t2s，a乙6m/s2 即 t2s 时刻，两车恰好未相撞，显然此后在停止运动前，甲 的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞。满足题意的条件为乙车 的加速度至少为 6m/s2。 方法二：用速度时间图象法来求解方法二：用速度时间图象法来求解 如图所示，当速度相同时，阴影面积s 表示两者位移 之差，若ss0，则不会相撞，由几何关系可得ss0，解得 t2s，再由 v1a1tv2a2t，解得(v1v2)t 2 a26m/s2，故乙车的加速度大于 6m/s2才能避免两车相撞。 方法三：建立数学函数方程来
4、求解方法三：建立数学函数方程来求解甲运动的位移 s甲v1t a1t2，s乙v2t a2t2，避免相撞的条1 21 2件为：s乙s甲s0，即 (a2a1)t2 (v1v2)ts00，代入数据有：1 2(a22)t216t160，不等式成立的条件是： 162416(a22)0，故 a26m/s2。 方法四：巧妙运用相对运动来求解方法四：巧妙运用相对运动来求解 两者的相对速度为vv1v28m/s，相对位移 ss08m，设相对加速度为aa2a1，经过时间 t 相遇，依题意有：svt at2， at28t80，只要满足8248 1 21 21 2 a0，故a4m/s2，a26m/s2满足题意。【方法技巧
5、】（1）审题与建立方程的绿色通道：“抓住一个条件，两个关系”。一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件。（2）架设数学与物理的绿色通道：“速度时间图象工具的物理v/ms-1t/sO168t意义”。vt 图象作为数学工具，实际上包含了物理运动学中的所有量。可以直观反映运动情况。比如速度的大小看纵坐标的绝对值，速度的方向看横轴的上与下；加速度的大小看图线的斜率绝对值，加速度的方向
6、看图线的切线的倾斜方向；位移的大小看图线与坐标轴围成的面积，位移的方向看所围成面积是横轴上还是下；多个图线的交点即速度相同处，解题时尽量将物理情景通过速度时间图象直观反映出来。（3）运用公式法和图象法的绿色通道：采用物理的图象方法，关键点在于两者速度相同时的临界分析，我们可称作“过了这个村就没这个店了”，即两者在速度相同时还未相遇，该处相交后必定出现速度的大小关系变化。例如速度相同时若还未追上，以后就不可能追上了。【调研 2】如图所示，直线 MN 表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车分别停在 A、B 两处，AB85m，现甲车开始以 a1=2.5m/s2的加速度向右做匀加速直线运动，当甲车运动 t0
7、6s 时，乙车开始以a25m/s2的加速度向右做匀加速直线运动，求两车相遇处到 A 处的距离。乙车甲车NMBA【解析】甲车运动 t06s 的位移为 s0 a1t0245m85m，尚1 2未追上乙车。设此后用时间 t 与乙车相遇，则 a1(t0t)2 a2t2AB1 21 2代入数据并整理得 t212t320解得 t14s t28s （1）当 t14s 时，甲车追上乙车，第一次相遇处到 A 的距离为s1 a1(t0t)2125m1 2（2）当 t28s 时，乙车追上甲车，第二次相遇处到 A 的距离为s2 a1(t0t2)2245m 1 2【误点警示】 本题中有两个易错点，一个是t06s时刻是否已
8、经相遇的判断，为后续方程的建立提供分析思路；第二个是方程的两个根的物理意义的理解。追及相遇问题实际上就是要建立两个位移间的函数方程ss1s2，而两个位移s1和s2符合匀变速直线运动的公式，位移公式是关于t的一元二次方程，因此相遇问题转化为关于t的函数方程中t是否有解及有几个解，此解要求大于零，且符合物理情景。典型运动情境之二：一个匀速运动，另一个匀变速运动典型运动情境之二：一个匀速运动，另一个匀变速运动【调研 3】甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持 9m/s 的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某
9、次练习中，甲在接力区前 S0=13.5m 处作了标记，并以v=9m/s 的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为 L=20m。求：此次练习中乙在接棒前的加速度 a。【解析】画出示意图，如图所示，设乙的加速度为 a，从起跑到接棒的时间为 t 解法一：利用平均速度求解依题意甲、乙运动位移满足：S甲S乙S0，即 v甲ttS0v乙其中 ，且tS0v乙v甲0 2v甲 2代入数据解得 t3s由 v甲at，解得 a3m/s2解法二：判别式法求解S甲S乙S0，即 v甲t at2S01 2移项得到： at2v甲tS00，
10、其中 S013.5m，v甲9m/s。1 2在速度相等时相遇，且只能相遇一次，故判别式0（即 t 只有唯一解） ，可得 a3m/s2解法三：转换参考系法求解若以乙运动员为参考系，则甲运动员以加速度a 做匀减速直线运动，从相距 S0再到达乙位置，甲到达乙位置时速度为零。根据匀变速运动规律：2aS00v02，代入数据解得a3m/s2。【学法指导】本题是大家在学校运动会中熟悉的接力赛情景。通过示意图将情景转换为物理模型，从而找到位移关联关系，列方程求解。但在具体列方程的过程中，考虑到运动学公式的灵活性与多变性，位移的表达式可以用平均速度与时间的乘积公式、位移时间公式表达、位移速度公式，甚至相对参考系的
11、方法。具体方法可参照三种方法进行认真体会，达到触类旁通，举一反三的效果。【调研 4】一辆摩托车能达到的最大速度为 vm30m/s，要想在3min 内由静止起沿一条平直公路追上前面 s01000m 处正以v20m/s 的速度匀速行驶的汽车，则摩托车必须以多大的加速度启动？（保留两位有效数字）甲同学的解法是：设摩托车恰好在 t3min180s 时追上汽车，则 at2vts0，代入数据得 a0.28m/s2。1 2乙同学的解法是：设摩托车追上汽车时，摩托车的速度恰好是vm30m/s，则 vm22as2a(vts0)，代入数据得 a0.1m/s2。你认为他们的解法正确吗？若错误，请说明理由，并写出正确
12、的解法.【解析】甲错，因为摩托车运动 t180s 时，速度为v1at0.28180m/s50.4m/svm30m/s。乙错，因为摩托车以 0.1m/s2的加速度运动达到速度vm30m/s，运动的时间ts=300s180s。vm a30 0.1正确解法：设摩托车达到最大速度用时 t1，则 vmat1 运动位移为 s1 at121 2设摩托车在 t180s 时恰好追上汽车,则此后摩托车运动位移 s2vm(tt1)汽车在 t 时间内运动位移：svt依题意：s1s2s0s代入数据解得 a0.56m/s2。故甲、乙都不正确，摩托车必须至少以 0.56m/s2的加速度启动。【误点警示】本题的追及相遇问题中
13、出现了最大速度 vm30m/s 的条件限制、3min 时间内追上的限制以及两者之间初始距离 s01000m 的限制。因此在以某一个条件建立方程式时要顾及到另外两个限制条件是否满足。否则会出现题干中甲、 乙两位同学的错误。【拓展训练】1、甲乙两车在一平直道路上同向运动，其 vt 图象如图所示，图中OPQ 和OQT 的面积分别为 x1和x2（x2x1） 。初始时，甲车在乙车前方 x0处，则（ ）TtvOQ甲 乙PA若 x0x1x2，两车不会相遇B若 x0x1，两车相遇 2 次C若 x0x1，两车相遇 1 次D若 x0x2，两车相遇 1 次【解析】由图线与坐标轴围成的面积表示运动的位移，可知 T时刻
14、甲乙速度相同，甲运动的位移 S甲x2，乙运动的位移 S乙x1x2，甲乙运动的位移差为SS乙S甲x1。此后甲的速度将大于乙的速度，若 x0Sx1，说明乙刚好追上甲，此后又落后于甲，即只能相遇一次，C 对；若 x0Sx1，说明乙还未追上甲，且此后乙也不可能追上甲，即不可能相遇，A 选项中 x0x1x2符合，故 A 对；而 D 选项 x0x2x1，也符合，故 D 错；若 x0Sx1，说明乙已经追上甲，且此后由于甲的速度较大，会再次与乙相遇，即相遇两次，B 对。【答案】ABC2、车从静止开始以 a1m/s2的加速度前进，车后相距 s025m处，某人同时开始以 v06m/s 的速度匀速追车，能否追上？如
15、追不上，求人、车间的最小距离。【解析】用运动学公式法来求解用运动学公式法来求解 讨论人与车速度相同时，人是否追上车。对车：运动位移 s车18mv02 2a 对人：运动位移 s人v0t36m 由于ss人s车18ms025m，且此后车的速度大于人的 速度，故人不能追上。 t6s 时，人与车相距最近，sms0s7m。 请自行尝试用其它方法来求解本题。3、如图所示，在倾角为 的光滑斜面顶端有一 质点 A 由静止开始自由下滑，同时另一质点 B 由静止 开始从斜面底端向左以恒定加速度 a 沿光滑水平面运 动，A 滑下后能沿斜面底部的光滑小圆弧平稳地朝 B 追去，为使 A 能追上 B，B 的加速度最大值是多少？ 【解析】：质点 A 先在斜面上由静止开始做匀加速运动，到 B 点后在水平面上做匀速直线运动；质点 B 由静止开始从斜面底端向 左以恒定加速度 a 沿光滑水平面运动，运动时间相同。 设经过时间 t 质点 A 在某点追上质点 B，则有：xALABxB ， 且 vAvB 质点 A 在斜面上运动的加速度 aAgsin，设到 B 点的速度大小为 vA，运动时间为 t1。vA aAvA gsin故 vA(t) at2，vAat ，联立解得：a gsin。vA gsin1 21 2
