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1、数学高考综合能力题选讲数学高考综合能力题选讲 17二次曲线100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测题型预测高考试题中，解析几何试题的分值一般占 20左右，而圆锥曲线的内容在试卷中所占 比例又一直稳定在 14左右，选择、填空、解答三种题型均有选择、填空题主要考查圆 锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用；以圆锥曲线为载 体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论，它们是热中 之热解答题的题型设计主要有三类：（1）求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹；（2）圆锥曲线的有关元素计算关系证明或范围的确定；（3）涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值
2、或位置关系的问题 近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降随着高考的逐步完善，结合上述考 题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查， 加强对于分析和解决问题能力的考查因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及 圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用范例选讲范例选讲例例 1 中，已知，且内角满足ABC| 2 2CB 2sinsinsinACB（1）建立适当的坐标系，求顶点 A 的轨迹方程； （2）若直线 通过点 B，且与顶点 A 的轨迹交于 M、N 两点，求l的最小值CMCN讲解讲解（1）如图：取 CB 所在直线为 x 轴，CB 的垂直平分线为 y 轴建
3、立 平面直角坐标系 2sinsinsinACB由正弦定理可得：（定值）24 2ACABCB根据椭圆的定义可知：顶点 A 的轨 迹是以 C、B 为焦点的椭圆，方程为：YAB xM NC O.22 186xy（2）解法一由于 M,N 的变化是由直线 l 的运动引起的，所以，可以设法将表达成关于直线 的斜率 k 的函数CMCNl设过点 B 的直线 的方程为：，点 M、N 的坐标分别为：l2yk x1122M,N,x yxy则由消去，得22 1862xyyk x y2222348 28240kxk xk显然，求出点 M,N 的坐标是不可取的但很容易得到下面的式子：212221228 2 34 824
4、34kxxk kx xk能否用来表示？这就涉及到椭圆的第二定义1212, xxx xCMCN由（1）可知：椭圆的左准线为：所以，根据定义有：84 22x 112211CM4 24 2 , CN4 24 222e xxe xx 所以， CMCN121214 2324x xxx2222221 82464501825393243434286kkk kkk所以，当时，取得最小值，为 60k CMCN解法二从另一个角度来思考这个问题，由于直线的标准参数方程中， 的t 几何意义就是从定点出发的有向线段的数量，所以，我们可以考虑将转化为，同时利用直线 的参数方程来解决问题 CMCN、 BMBN、l设过点 B
5、 的直线 的方程为：（其中 为参数，为直线 的l2cos sinxt yt tl倾斜角），代入椭圆方程，得：223sin6 2 cos180tt所以，226 2cos 3sin 18 3sinMNMNtttt 所以，2212 243sinMNMNMNtttttt根据椭圆定义：，所以，CMBM4 2CNBN4 2CMCN4 2BM4 2BN324 2 BMBNBMBN2212 218324 2324 23sin3sinMNMNtttt27832sin3所以，当且仅当，即直线方程为时，取得最小值，2sin00y CMCN为 6 点评点评：恰当运用定义是进行问题转化的重要手段例例 2已知双曲线的左右
6、两焦点分别为，点 M 是双曲线右支上不重合12,F F于顶点的一点，设，若1221,MFFMF F sin1 cos1 sin1 cos3 （1）求双曲线的离心率；（2）如果动点的坐标为，且有最小值 15，求双M, x y2242 54xxyy曲线的方程 讲解：讲解：（1）如果对三角公式较为熟悉，不难发现，实际上 tansin1 cos2 sin1 costan2 所以，要求双曲线的离心率，只需考虑如何用来表达即可, , ,a b c etantan22设双曲线的实轴长为，焦距为，点 P2a2c为的内心，过 P 作 PN 垂直于点12MFF12FFN，则，12tan,tan22PNPN NFN
7、F又1122 122,22MFFFMFcaNFca2121 222 22MFFFMFacNFca所以，1 3 tansin1 cos2 sin1 costan2 211 1NFcae NFcae所以，2e （2）222, 3ebaQ的坐标适合方程，M, x y22233xya又 2242 54xxyy222222244533xyxyxya15（等号当且仅当时取得）5 42514xy ，225,15ab双曲线的方程为：22 1515xy点评点评：（1）中，直接利用正、余弦定理也可得出结论高考真题高考真题1（1993 年全国高考题）在面积为 1 的PMN 中，tanM = ,tanN = -2建立
8、适当的坐标系，求出以12M，N 为焦点且过点 P 的椭圆方程 2（1998 年全国高考）如图, 直线 L1 和 L2相交于点 M，L1L2, 点 N L1以 A、B 为端点的曲线 C 上的任一点到 L2的PM NAL1 M NL2B距离与到点 N 的距离相等若AMN 为锐角三角形，|AM|= ，|AN| = 3，且17|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程3（2000 全国理 22）如图，已知梯形 ABCD中，点 E 分有向线段所成的比为，CDAB2AC双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点当时，求双曲线离心率 的取值范围43 32e答案与提示：1； 2； 32241153xy2814,0yxxy710e
