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1、专题十三专题十三 数形结合的思想数形结合的思想【考点聚焦考点聚焦】 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学 问题的一种重要思想方法。实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。【自我检测自我检测】1头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 方程 sin(x)=x 的实数解的个数是( B )4 41A头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头
2、 头 头头 头 头 头 头 头头 头 2 B头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 3 C头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 4 D头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 52. （2005 福建）设的最小值是（ C ）bababa则, 62,22RABC3D22335273头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头
3、头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 已知 f(x)=(xa)(xb)2（其中 ab ，且 、是方程 f(x)=0 的两根（，)则实数 a、b、的大小关系为( )A头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 ab B头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 abC头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 ab D头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头
4、 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 ab4. ( 2006 年湖南）若圆上至少有三个不同点到直线 :2244100xyxyl的距离为,则直线 的倾斜角的取值范围是 ( B )0axby2 2lA. B. C. D.,12 45,12 12,6 3 0,2【重点重点难点难点热点热点】 问题 1 利用函数的图象、方程的图形数形结合例 1在 y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x 这四个函数中，当 0x1x21 时，使 f（）恒成立的函数的个数是 （ B ）221xx 2)()(21xfxfA0 B1 C2 D3【解析】 用图像法，只有上凸函数才满足题意，
5、即只有 y=log2x 才满足上式，故选B例 2 已知二次函数 y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1） ，反比例函数y=f2（x）的图象与直线 y=x 的两个交点间的距离为 8，f（x）=f1（x）+f2（x） （1）求函数 f（x）的表达式；（2）证明：当 a3 时，关于 x 的方程 f（x）=f（a）有三个实数解【分析】 用数形结合思想求 f（x）f（a）=0 解的个数【解】 （1）由已知，设 f1（x）=bx2，由 f1（x）=1，得 b=1f1（x）=x2设 f2（x）=（k0） ，则其图象与直线 y=x 的交点分别为 A（k，k） ，B（k，k），xk由|AB|=8，得 k
6、=8，f2（x）=，故 f（x）=x2+x8 x8（2）由 f（x）=f（a） ，得 x2+=a2+，x8 a8即=x2+a2+x8 a8在同一坐标系内作出 f2（x）=和 f3（x）=x2+a2+的大致图象（如图所示） ，其中x8 a8f2（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3（x）的图象是以（0，a2+）为顶点，开口向下的抛物线f2（x）与 f3（x）的图象在第三象限有一个交点，a8即 f（x）=f（a）有一个负数解又f2（2）=4，f3（2）=4+a2+，当 a3 时，a8f3（2）f2（2）=a2+80，a8当 a3 时，在 f3（x）第一象限的图象上存在一点
7、（2，f3（2） ）在 f2（x）图象的上方f2（x）与 f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即 f（x）=f（a）有两个正数解故方程 f（x）=f（a）有三个实数解【评析】 用数形结合思想，可把一个较复杂的问题转化为一个较简单的问题演变 1：函数 f（x）=sinx+2|sinx|，x0,2的图象与直线 y=k 有且仅有 2 个不同的交 点，则 k 的取值范围 。(1时，|x+1|x2|，当 x0 时，若，则，所以在区间上是增函数；)0 ,(x0)( xf)(xf)2,(a若，则，所以在区间上是减函数；)2, 0(ax0)( xf)(xf)2, 0(a若，则，所以在区间上是增函数；),2(
8、ax0)( xf)(xf),2(a（i i）当 a0 时，若，则，所以在区间上是减函数；)2,(ax0)( xf)(xf)2,(a若，则，所以在区间上是增函数；)0 ,2(ax0)( xf)(xf)0 ,2(a若，则，所以在区间上是减函数.), 0( x0)( xf)(xf), 0( （）由（）的讨论及题设知，曲线上的两点 A、B 的纵坐标为函数的极值，)(xfy 且函数在处分别是取得极值，.)(xfy axx2, 0af31)0(134)2(2aaaf因为线段 AB 与 x 轴有公共点，所以.0)2()0(aff即.所以.0)31)(134(2aaa0)4)(3)(1(2aaaa故.0, 0
9、)4)(3)(1(aaaa且解得 1a0 或 3a4. 即所求实数 a 的取值范围是-1，0)3，4.21解：四边形是，作双曲线的右准线交 PM 于OFPMY| |OFPMcH，则，又，2 | | 2aPMPHc2222222| |2222PFOFcceeaaPHcaecccc。220ee（）当时，双曲线为，设 P12e 2ca223ba222213xy aa，则，00(,)xy203|2aaxMPONcc，所以直线 OP 的斜率为，则直线 AB 的方程22 015|2ayMNOMON15 3为，代入到双曲线方程得：，15(2 )3yxa22420290xaxa又，由得：12AB 22 121
10、21()4ABkxxx x，解得，则，所以为所求。2 252912125434aa 1a 23b 2 213yx 【挑战自我挑战自我】(2006 辽宁理)已知函数 f(x)=,其中 a , b , c 是以 d 为公差的等差dcxbxax23 31数列，且 a0,d0.设1-上，处取得最的极小值点，在为)(0xfx0 ,2 ab1( )fxx在大值，在，将点依次记为 A， B， 处取得最小值2x001122,(),( ,(),(,()xf xxfxxfx（C(I)求的值ox(II)若ABC 有一边平行于 x 轴，且面积为，求 a ,d 的值32【解析】(I)解: 2bacQ22( )2()(1
11、)()fxaxbxcaxac xcxaxc令,得( )0fx1cxxa 或0,0 0ad abc Q1,1cc aa 当时, ;1cxa ( )0fx当时, 1x ( )0fx所以 f(x)在 x=-1 处取得最小值即1ox (II) 2( )2(0)fxaxbxc aQ的图像的开口向上,对称轴方程为( )fxbxa 由知1b a2|(1)()| |0()|bbb aaa 在上的最大值为( )fx21,0b a(0)fc即1x =0又由21,1,0bbb aaa知当时, 取得最小值为bxa ( )fx22(),bdbfxaaa 即01()( 1)3f xfa Q21( 1,), (0, ) (
12、,)3bdAa Bc Caa 由三角形 ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x 轴,所以2 221,a =3(1)3dada L即又由三角形 ABC 的面积为得321( 1) ()2323baca 利用 b=a+d,c=a+2d,得2223(2)3ddaL联立(1)(2)可得.3,3 3da解法 2: 2( )2(0)fxaxbxc aQ2(1)0,(0)bffcaQ又 c0 知在上的最大值为( )f x21,0b a(0)fc即: 1x =0又由21,1,0bbb aaa知当时, 取得最小值为bxa ( )fx22(),bdbfxaaa 即01()( 1)3f xfa Q21( 1,), (0, ) (,)3bdAa Bc Caa 由三角形 ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x 轴,所以2 221,a =3(
