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1、第九章第九章 一元二次方程一元二次方程 高频考点考查频率所占分值 1.元二次方程的概念 2.一元二次方程的解法 3.一元二次方程根的判别式 4.一元二次方程根与系数的关系考 情 分 析5.利用一元二次方程解决实际问题712 分知能图谱知能图谱22 22004402axbxcabbacxbaca 等号两边都是整式，只含有一个未知数，一元二次方程并且未知数的最高次数是的方程，叫一元二次方程 一元二次方程一元二次方程的一般形式：的有关概念使一元二次方程左右两边相等的一元二次方程的解未知数的值是一元二次方程的解配方法一元二次方程公式法：的解法 因式分解法 一元 二 方次 程方 的程 讨论2122 12
2、 120040,100,2bacbxxa cxxaxbxcaxxa 方程有两个不相等的实数根内容方程有两个相等的实数根根的判别式方程无实数根应用推论 内容根与系数的关系设、为的两根推论应用步骤：审、设、列、解、验、答图形的面积问题平均 列一元二次方程常见类型解决实际问题 增长率降低率问题数字问题动点问题利润问题营销问题利息问题第第 1919 讲讲 一元二次方程的有关概念及解法一元二次方程的有关概念及解法 知识能力解读知识能力解读 知能解读（一）一元二次方程的有关概念知能解读（一）一元二次方程的有关概念 1 1 一元二次方程的定义及一般形式一元二次方程的定义及一般形式 定义：等号两边都是整式，只
3、含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二 次)的方程，叫作一元二次方程.点拨点拨 对定义的理解抓住三个条件：“一元” “二次” “整式方程”,缺一不可，同时强调二次 项的系数不为 0.一元二次方程的一般形式是：,其中是二次项，是二次200axbxca2axa项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项.bxbc 一元二次方程的形式： 项形式二次项一次项常数项一般形式200axbxca 200axbxa2ax2axbx bxc 0特殊形式200axca 200axa2ax2ax0 0c 02 2元二次方程的解的定义元二次方程的解的定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元
4、二次方程的解，也叫作一元 二次方程的根.判定一个数是否为一元二次方程的解的方法是：只需将这个值代入一元二次 方程的左右两边，看方程两边是否相等.若相等，则这个数是方程的解；若不相等，则这个 数不是方程的解. 知能解读（二）一元二次方程的解法知能解读（二）一元二次方程的解法 解一元二次方程常用的方法有配方法、公式法和因式分解法.其中因式分解法是特殊解 法，而配方法和由配方法推导出来的公式法是一般方法，一般方法对任何一元二次方程者 随用. 1 配方法一般地，对于方程. .2xp（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根成：0p 2xp，.1xp2xp （2）当时，方程有两个相等的实数根
5、.0p 2xp120xx（3）当时，因为对任意实数.都有，所以方程无实数根.0p x20x 2xp如果方程能化成或的形式，那么可得或.2xpxp xp mxnp 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.配方的目的是为了降次， 把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）化二次项系数为 1：可在方程两边都除以二次项系数； （2）移项：使方程左边是二次项和一次项,右边为常数项(移项时注意变号)； （3）配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方形式，把方程化为的形式；20xmn n（4）如果变形后的方程右边的数为非负
6、数，直接开平方解变形后的方程. 点拨点拨 (1)配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四求解. (2)配方一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系 数一半的平方(二次项系数必须为 1). (3)用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转化为开平方所需的形 式.配方：是为了降次,利用平方根的意义把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来 解. 2 2 公式法公式法解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式，当200axbxca时，方程的实数根可写成的240bac 200axbxca24 2bbacxa 形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式.解一个
7、具体的一元200axbxca二次方程时,把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次 方程的方法 叫作公式法. 点拨点拨 用公式法解一元二次方程的记忆口诀 要用公式解方程，首先化成一般式. 调整系数随其后，使其成为最简比. 确定参数，计算方程判别式., ,a b c 判别式值与零比，有无实根便得知. 若有实根套公式，若无实根要告之. 3 3 因式分解法因式分解法 通过因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一 次式分别等于 0,从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分懈法. 因式分解法体现了将一元二次方程“降次”转化为一元一次方
8、程来解的思想，运用这 种方法的步骤： （1）将所有项移到方程的左边，将方程的右边化为 0； （2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解. 方法技巧归纳方法技巧归纳 方法技巧（一）一元二次方程的识别方法方法技巧（一）一元二次方程的识别方法 判断一个方程是一元二次方程，应抓住它的三个特征：整式方程；只含有一个未 知数；未知数的最高次数是 2 且二次项系数不为 0. 点拨点拨 （1）正确理解掌握定义是解题的关键，尤其是准确掌握中“”20axbxc0a 这一条件.（2）应先把方程化成一般形式后，再判
9、断该方程是不是一元200axbxca二次方程. 方法技巧（二）用配方法解一元二次方程方法技巧（二）用配方法解一元二次方程 配方法解方程的关键在于配方，即先把方程整理成的形式，然后在方程两2xbxc 边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方形式. 点拨点拨 （1）用配方法解一元二次方程必须先把二次：项系数化为 1 才能配方，这是关键的一 步. （2）配方的重要步骤是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方的目的是根据，将一般形式的一元二次方程化为的形式，2222aabbab20xab b然后再用直接开平方法求解. 方法技巧（三）用公式法解一元二次方程方法技巧（三）用公式法解一元二次方
10、程 用公式法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）把方程化为一般形式； （2）确定的值,注意各项系数包括它们前面的符号；, ,a b c（3）计算的值；24bac （4）当时，把及的值代入一元二次方程的求根公式，求240bac, ,a b c24bac得方程的根；当时，方程无实数根.240bac 点拨点拨用公式法解方程注意三点：一是将方程化为一般形式；二是熟记求根公式；三是掌握用此法解方程的步骤（前面已讲）.2 24402bbacxbaca 方法技巧（四）用因式分解法解一元二次方程方法技巧（四）用因式分解法解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程的关键有三点：一是要将方程的右边化为 0；二是
11、熟练 掌握因式分解的方法(提公因式法和公式法） ；三是切忌方程两边同时除以含未知数的整式. 注意注意 （1）用因式分解法解一元二次方程时，方程右边必须为 0.（2）第（2）题中的方程两边不能同除以，这样容1222xxx2x易丢掉根.遇到此类情形要先移项把方程一边化为 0.2x （3）第（4）题中，得出，不能只写成.220x122xx2x 方法技巧（五）一元二次方程中的阅读理解题方法技巧（五）一元二次方程中的阅读理解题 点拨点拨 本题体现了换元法在解高次方程中的应用，突出了解方程中的降次思想和转化思想. 方法技巧（六）含字母系数的方程的解法方法技巧（六）含字母系数的方程的解法 注意注意 由于原方
12、程对的取值没有限制条件，所以它不一定是一元二次方程，显然当a 或时，方程分别是不同的一元一次方程，当且时，方程才是一元二0a 1a 0a 1a 次方程，这种分类讨论思想要注意掌握. 易混易错辨析易混易错辨析 易混易错知识易混易错知识 对一元二次方程的定义理解不透或思维不严谨，易出现错解.如判定一元二次方程时忽 略“”的条件.0a 易混易错（一）忽略一元二次方程易混易错（一）忽略一元二次方程中中“”的条件的条件20axbxc0a 易混易错（二）用求根公式时未化成一般形式致错易混易错（二）用求根公式时未化成一般形式致错 易混易错（三）解一元二次方程时丢根易混易错（三）解一元二次方程时丢根 易混易错
13、（四）配方时未将系数化为易混易错（四）配方时未将系数化为 1 1 易混易错（五）乱用因式分解易混易错（五）乱用因式分解 中考试题研究中考试题研究 中考命题规律中考命题规律 本讲的主要考点有一元一次方程的一般形式和一元二次方程的解法等，题型有填空题、 选择题、解答题，近几年部分地区中考出现了阅读理解题、开放题等新题型，应予以关注. 中考试题（一）对一元二次方程相关概念的理解中考试题（一）对一元二次方程相关概念的理解 点拨点拨 已知一元二次方程的根求未知系数或有关代数式的值时，常把方程的根代入一元二次 方程中求解. 中考试题（二）解一元二次方程中考试题（二）解一元二次方程 （1）用配方法解方程 （
14、2）用公式法解方程 点拨点拨 用公式法求解，先把一元二次方程化为一般形式，再计算，最后代入公式求24bac 解. （3）用因式分解法解方程 中考试题（三）一元二次方程的探究创新中考试题（三）一元二次方程的探究创新 第第 2020 讲一元二次方程根的判别式和根与系数的关系讲一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 知识能力解读知识能力解读 知能解读（一）一元二次方程根的判别式及应用知能解读（一）一元二次方程根的判别式及应用 1 1 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式将配方成后，可以看出，只有200axbxca224 22bbbacxaa 当时，方程才有实数根，这样的值就决定着一元一次方程
15、根的情况.240bac24bac一般地，式子叫作一元二次方程根的判别式，通常用“24bac200axbxca”表示它，即.24bac 的符号方程根的情况 0 方程有两个不相等的实数根，即24 2bbacxa 0 方程有两个相等的实数根，即122bxxa 0 方程无实数根 上面的结论反过来也成立，即当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两0 个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，.0 0 注意注意 （1）只适用于一元二次方程.只有确定是一元二次方程时，才能确定、24bac a 、，求出.bc （2）使用时，要先将一元二次方程化为一般形式后，才能确定、，求出.abc （3）当时，方程有实数根.240bac 2 2 一元二次方程根的判别式的应用一元二
