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1、北师版八年级数学第北师版八年级数学第 1 章章 勾股定理勾股定理 一知识归纳 勾股定理勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么abc222abc .勾股定理的证明勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法cbaHGFEDCBAbacbaccabcababccbaEDCBA.勾股定理的适用范围勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 .勾股定理的应用勾股
2、定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则，ABC90C22cab22bca22acb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题 .勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边abc222abcc勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，22ab2cab 为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；若，c222abcabc222ab
3、c 时，以，为三边的三角形是锐角三角形；abc定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足abc222abcabc ，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边222acbabcb勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角 三角形 .勾股数勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，222abcabca ，为一组勾股数bc记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等3,4,56,8,105,12,137,24,25用含字母的代数式表示组勾股数：n（为正整数） ；221,2 ,1nn
4、n2,n n（为正整数）2221,22 ,221nnnnnn（，为正整数）2222,2,mnmn mn,mnmn勾股定理的应用勾股定理的应用 .勾股定理逆定理的应用勾股定理逆定理的应用 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理的应用ABC30DCBAADBCCBDA二、常见考题分析二、常见考题分析题型一：直接考查勾股定理题型一：直接考查勾股定理 例.在中，ABC90C已知，求的长6AC 8BC AB 已知，求的长17AB 15AC BC分析：直接应用勾股定理222abc 题型二：应用勾股定理建立方程题型二：应用勾股定理建立方程 例.在中，于， ABC90ACB5AB cm3BC cmCDA
5、BDCD 已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为 3:415 已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为 30cm13cm 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可根据勾股定理 列方程求解 例.如图中，求的长ABC90C12 1.5CD 2.5BD AC21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来例 4.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积Rt ABC90C3,4ACBCBAC题型三：实际问题中应用勾股定理题型三：实际问题中应用勾股定理 例 5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距
6、，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，8cm2 cm8cm 至少飞了 mABCDE分析：根据题意建立数学模型，如图，过点作，垂足为，则8AB m2CD m8BC mDDEABE ，6AE m8DE m 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例 6.已知三角形的三边长为，判定是否为abcABCRt， ，1.5a 2b 2.5c 5 4a 1b 2 3c 例 7.三边长为，满足，的三角形是什么形状？abc10ab18ab 8c 题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
7、例 8.已知中，边上的中线，求证：ABC13AB cm10BC cmBC12AD cmABAC 证明：DCBA三、巩固训练：三、巩固训练： 选择题选择题1、在 RtABC 中，C=90，三边长分别为 a、b、c，则下列结论中恒成立的是 ( ) A、2abc2D、2abc2 2、已知 x、y 为正数，且x2-4+（y2-3）2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么 以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A、5B、25 C、7D、15 3、直角三角形的一直角边长为 12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（ ） A、4 个B、5 个C、6 个D、8 个
8、4、下列命题如果 a、b、c 为一组勾股数，那么 4a、4b、4c 仍是勾股数；如果直角三角形的两边 是 3、4，那么斜边必是 5；如果一个三角形的三边是 12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； 一个等腰直角三角形的三边是 a、b、c， （ab=c） ，那么 a2b2c2=211。其中正确的是（ ） A、B、C、D、 5、若ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此为（ ） A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不能确定 6、已知等腰三角形的腰长为 10，一腰上的高为 6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ） A、40B、80C、4
9、0 或 360D、80 或 360 7、如图，在 RtABC 中，C=90，D 为 AC 上一点，且 DA=DB=5，又DAB 的面积为 10，那么 DC 的 长是（ ）A、4B、3C、5D、4.5 8、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边 AC=6，BC=8。现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它 落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ） A、2B、3C、4D、5 9.一只蚂蚁从长、宽都是 3，高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的 长是_。 10.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，
10、已 知红莲移动的水平距离为 2 米，问这里水深是_m。 二.解答题 1.如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 260km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向 以 15km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=100km，那么台风中心经过多长时间从 B 点 移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游 人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？2、数组 3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；都是勾股数，若奇数 n 为直角三角形的 一直角边，用含 n 的代数式表示斜边
11、和另一直角边。并写出接下来的两组勾股数。3、一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米， （1）这个梯子的顶端距地面有多 高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端 下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？4.如图，A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC=10 千米，BD=30 千米，且 CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3 万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABDC第 7 题图AC DBA D B C B A C D 第14题图 E第 8 题图AABAAOAABCD第 1 题图AD BCBACD第 9 题图ABCDL第 4 题图
