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1、新课标初三数学第二轮复习新课标初三数学第二轮复习-开放性综合题开放性综合题题型特点这类题目要求学生通过观察、分析、比较、概括，总结出题设反映出的某种规律，进而利用这个规律解决相关问题这类试题主要考查学生的逻辑判断能力和归纳推理能力。解题规律探索规律的数学题，结论一般不直接给出，需要同学们去寻找和发现，合理运用猜想，就能较快地找到结论或结果解这类题目，常常是先考虑特殊情况，由特殊情况的结果，通过类比猜想出一般情况的结果，再作出相应的证明典型剖析典型剖析例 1 有若干个数，第一个数记为 a1，第二个数记为 a2，第三个数记为 a3，,第 n 个数记为 an，若 a1 = ，从第二个数起，每个数都等
2、于“1 与它前面的那个数的差的倒数” 。 21(1) 试计算：a2 = _，a3 = _, a4 = _。(2) 根据以上计算结论，猜测出 a2004 = _, a2005 = _。分析：（1）本题给出了相邻两数之间的关系，依次求出 a2、a3、a4的值， （2）从求得的结果发现是以= ，3 为循环周期的数列。 2132解：（1）a2=，a3=3，a4= 3221（2）2005=3668+1， a 2005 = 212006=3668+2，a 2005= 32点评：本题以数字之间的内在的规律为基础，由浅入深进行探求，有效地考查了我们计算、分析、归纳的能力。例 2 (无锡市) 观察下列等式，你会
3、发现什么规律：131；241；351；461；22232425将你发现的规律用仅含字母 n（n 为正整数）的等式表示出来；。分析： 这类题仅要求写出结果，并不要求严格证明解这类题是以深刻地观察、分析、归纳其数字内在的规律为基础的，由已知的 4 个等式发现：等式的左边是含有乘法和加法运算的两项式，两个加数中一个是 1，另一个是两个自然数的乘积，这两个自然数相差 2，而等式的右边是一个自然数的平方，且这个自然数是等式左边相乘两个自然数中间的数解：n（n+2）+1=（n+1）2 点评： 由于这类题能有效地考查学生观察、分析、归纳数学算式的规律的能力所以在新课程标准深入贯彻的今天，倍受中考命题者的青睐
4、，多练几道，信心倍增例 3 （青岛市） 观察下列由棱长为 1 的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图中:共有 1 个小立方体，其中 1 个看得见，0 个看不见；如图中:共有 8 个小立方体，其中 7 个看得见，1 个看不见；如图中:共有 27 个小立方体，其中 19 个看得见，8 个看不见；，则第个图中，看不见的小立方体有_个.分析：从小正方形堆起的结构发现：后面图中看不见的部分就是它前面的图形，即看不见的小正方形有（n1）3个。解：看不见的小正方形有 （63）3=125 个。点评：这是一道数形结合的探究规律的试题，关键要观察、分析出相邻两个图形之间的关系，思考问题的角度是非常重要的。例 4 （
5、无锡） 已知正方形 ABCD 的边长 AB=k（k 是正整数） ，正PAE 的顶点 P 在正方形内，顶点 E 在边 AB 上，且 AE=1. 将PAE 在正方形内按图 1 中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、连续地翻转 n 次，使顶点 P 第一次回到原来的起始位置.（1）如果我们把正方形 ABCD 的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是PAE 在直线上作连续的翻转运动. 图 2 是 k=1 时，PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若 k=1，则PAE 沿正方形的边连续翻转的次数 n= 时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置.（2）若 k=2，
6、则 n= 时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置；若 k=3，则n= 时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置.（3）请你猜测：使顶点 P 第一次回到原来的起始位置的 n 值与 k 之间的关系（请用含 k 的代数式表示 n）.1）12 次 （2）24 次；12 次（3）当 k 是 3 的倍数时，n=4k；当 k 不是 3 的倍数时，n=12k.点评：为了引导学生在实践中探求规律，本题给出了一种探求的方法变直为曲，将绕正方形的边翻转的问题转化为在直线上翻转的问题，使问题简化，更便于发现规律。例 5 （ ）右图是一回形图，其回形通道的宽与 OB 的长均为 1，回形线与射线OA 交于点 A1，A2，A
7、3，若从 O 点到 A1点的回形线为第 1 圈(长为 7)，从 A1点到 A2点的回形线为第 2 圈，依此类推，则第 10 圈的长为 分析：方案（1）直接计算各圈回形线的长度为 7，15，23，发现其规律为7+8（n1） ，方案（2）将图形变形，则第 n 圈的长为 42n1=8n1，解：第 10 圈的长=8101=79点评：本题要求我们理解图形的形成过程，合理选择探求方案，从以上解法不难发现：方案（1）直接计算各圈回形线的长度，再根据数据特征发现规律，但计算长度的过程比较麻烦；方案（2）用其等价图形使其规律一目了然。ABCDP(E)CDABCDABCDABABCD图 2ABCDPE 图 1练兵
8、平台练兵平台1（镇江）正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成 27 个大小相等的小立方块，设其中仅有 个面（1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为，则、iix1x2x之间的关系为（）3x（A）1 （B）11x2x3x1x2x3x（C）2 （D）21x2x3x1x2x3x2 （深圳）已知：，212212323323434434若（a、b 都是正整数） ，则 a+b 的最小值是_。 10ba10ba3 （青岛） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来无独有偶，数字中也有类似的“黑洞” ，满足某种条件的所有数，通过一种运算，
9、都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌譬如：任意找一个 3 的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数 T ，我们称它为数字“黑洞” T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！4 （南通市） 已知一个面积为 S 的等边三角形，现将其各边 n（n 为大于 2 的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示） （1）当 n = 5 时，共向外作出了 个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为 ；（2）当 n = k 时，共向外作出了 个小等边三角形，
10、这些小等边三角形的面积和为 （用含 k 的式子表示） 5 （大连） 如图 1、2、3、n，M、N 分别是O 的内接正三角形 ABC，正方形 ABCD、正五边形ABCDE、正 n 边形 ABCD的边 AB、BC 上的点，且 BM=CN，连结 OM、ON，（1）图 1 中MON 的度数是 ；（2）图 2 中，MON 的度数是_，图 3 中MON 的度数是_。（3）试探索MON 的度数与正多边形边数 n 的关系（直接写答案）6将连续的奇数 1，3，5，7，9排成如图所示数表：(1)十字框中的五个数的和与中间的数 23 有什么关系? (2)设中间的数为 a，用代数式表示十字框中的五个数之和(3)若将十
11、字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗?(4)十字框中的五个数之和能等于 2010 吗?若能，请写出这五个数若不能，请说明理由体验中考体验中考n=3n=4n=5C3H8C2H6CH4HHHHHHHHHHHHHHCCCCCHHHHC1 （丽水）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式 2 （茂名） 用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第 n 个图案需要用白色棋子 枚（用含有 n 的代数式表示）3 （扬州市）请选择一组你喜欢的 a、b、c 的值，使二次函数的图像同时）（02acbxaxy满足下列条件:开口向下,当时，
12、随的增大而减小；当时，随的增大而增大.这2x2x样的二次函数的解析式可以是_4 （广东） 设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以正方形 ABCD 的对角线 AC为边作第二个正方形 ACEF，再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方形AEGH，如此下去。（1）记正方形 ABCD 的边长为1，依上述方法所作的正方形的边长依次1a为，求出，的值。2a3a4ana2a3a4a（2）根据以上规律写出第 n 个正方形的边长的表达式。 na5 （安徽） 下图中, 图(1)是一个扇形 AOB,将其作如下划分:第一次划分: 如图(2)所示,以 OA 的一半 OA1为半径画弧,再作AOB 的平分线
13、, 得到扇形的总数为 6 个, 分别为: 扇形 AOB、扇形 AOC、扇形 COB、扇形 A1OB1、扇形 A1OC1、扇形 C1OB1;第二次划分: 如图(3)所示, 在扇形 C1OB1中, 按上述划分方式继续划分, 可以得到扇形的总数为 11 个;第三次划分: 如图(4)所示;依次划分下去.图(1) 图(2)第一次划分图(3)第二次划分图(4)第三次划分(1)根据题意, 完成下表:划分次数扇形总个数1621134n(2)根据上表, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为 2005 个? 为什么?6 （基础教育课改实验区）某中学初三（1）班的全体同学在放假两周的时间内，在自主完成学习
14、任务的同时，两周内全班每两个同学都通过一次电话，互相交流学习体会，共同提高如果该班有 56 名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？为解决该问题，我们可把该班人数 n 与通电话次数 s 间的关系用下列模型来表示： 若把 n 作为点的横坐标，s 作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来； 根据图中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图像上？如果在，求出该函数的解析式； 根据中得出的函数关系式，求该班 56 名同学间共通了多少次电话。参考答案：练兵平台练兵平台 1D 219 3153 49，3（k2） ，5120，90，72，1
15、25S23(2)kSkno3606(1)7+2l+23+25+39=235 (2)(a-l)+(a-2)+a+(a+2)+(a+16)=5a (3)仍有这种规律，由(2)将十字框上、下、左、右平移，框住的五个数的和始终等于中间数的 5 倍(4)假设十字框中的五个数的和能等于 2010 即 5a=2010，a=402，而 402 不是奇数，所以，十字框中的五个数之和不能等于 2010体验中考体验中考1CnH2n+2 24n+4 3略（答案不惟一） 4 516，21，5n+1，不能得到 2005 个扇1)2(n形，因为满足 5n+1=2005 的正整数 n 不存在 6 （1）略 （2）在一个二次函数的图象上，求得 s = （3）1540 nn21 212
