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1、第第 40 讲讲 实验与动态型问题实验与动态型问题内容特性动态型问题是指以三角形、四边形、圆等几何图形或函数图象为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行实验、观察、猜想和归纳，进行推理的一类问题，这类问题信息量大，灵活多变，出现的结果往往有多种情况涉及到平行线、相似三角形的性质，锐角三角函数，方程、不等式及函数的知识，以及几何变换，数形结合，分类讨论，函数与方程，特殊与一般的思想.解题策略解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住运动中的某一瞬间，抓住变化过程中的特殊情形，确定运动变化过程
2、中的数量关系、图形位置关系，从而建立方程、不等式、函数、几何模型，找到解决问题的途径.基本思想解题时利用方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想，恰当地使用分析综合法，挖掘题目的隐含条件，将复杂问题分解为基本问题，逐个击破，进一步得到新的结论.类型一类型一 由点运动产生的问题由点运动产生的问题(2017丽水)如图 1，在ABC 中，A30，点 P 从点 A 出发以 2cm/s 的速度例1沿折线 ACB 运动，点 Q 从点 A 出发以 a(cm/s)的速度沿 AB 运动，P，Q 两点同时出发，当某一点运动到点 B 时，两点同时停止运动设运动时间为 x(s)，APQ 的面积为y(cm
3、2)，y 关于 x 的函数图象由 C1，C2两段组成，如图 2 所示(1)求 a 的值；(2)求图 2 中图象 C2段的函数表达式；(3)当点 P 运动到线段 BC 上某一段时APQ 的面积大于当点 P 在线段 AC 上任意一点时APQ 的面积，求 x 的取值范围【解后感悟】解题的关键是从运动图与描述图中获取信息，根据图象确定 x 的运动时间与面积的关系，同时关注图象不同情况的讨论这类问题往往探究点在运动变化过程中的变化规律，如等量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等，且体现分类讨论和数形结合的思想1(2016白银)如图，ABC 是等腰直角三角形，A90，BC4，点 P 是ABC边上一动点
4、，沿 BAC 的路径移动，过点 P 作 PDBC 于点 D，设 BDx，BDP 的面积为 y，则下列能大致反映 y 与 x 函数关系的图象是( )2(1)如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 yx22x2 上运动，过点 A 作ACx 轴于点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，连结 BD，则对角线 BD 的最小值为 .(2)(2016舟山)如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为(1，0)，ABO30，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿OBA 的边按OBAO 运动一周，同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动，如果 PQ，3那么当点
5、 P 运动一周时，点 Q 运动的总路程为 .类型二类型二 由线运动产生的问题由线运动产生的问题(2015无锡)如图，C 为AOB 的边 OA 上一点，OC6，N 为边 OB 上异于点例2O 的一动点，P 是线段 CN 上一点，过点 P 分别作 PQOA 交 OB 于点 Q，PMOB 交OA 于点 M.(1)若AOB60，OM4，OQ1，求证：CNOB；(2)当点 N 在边 OB 上运动时，四边形 OMPQ 始终保持为菱形问：的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理1 OM1 ON由；设菱形 OMPQ 的面积为 S1，NOC 的面积为 S2，求的取值范围S1 S2【解后感悟
6、】解答这类问题时要用运动与变化的观点去观察和研究图形，把握直线或曲线变化的全过程，本题中 PQOA，PMOB，涉及相似三角形的判定与性质，抓住等量关系，特别注意一些不变量、不变关系或特殊关系3(1)(2016长春市南关区模拟)如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 BC 在x 轴的正半轴上，点 B 在点 C 的左侧，直线 ykx 经过点 A(3，3)和点 P，且 OP6.将2直线 ykx 沿 y 轴向下平移得到直线 ykxb，若点 P 落在矩形 ABCD 的内部，则 b 的取值范围是( )A00)与此正方形的边有交点，4 x则 a 的取值范围是 .(3)(2016新昌模拟)已知 RtA
7、BC 的顶点坐标为 A(1，2)，B(2，2)，C(2，1)，若抛物线 yax2与该直角三角形无公共点，则 a 的取值范围是 .(4)(2016海陵模拟)如图，等腰直角三角形的斜边长 AB8，一直线 l 绕顶点 B 任意旋转，过 A 向 l 作垂线，垂足为 H，则线段 CH 长的取值范围是 .类型三类型三 由图形运动产生的问题由图形运动产生的问题(2016金华)由 6 根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架 ABCDEF，相邻两钢管可例3以转动已知各钢管的长度为 ABDE1 米，BCCDEFFA2 米(铰接点长度忽略不计)(1)转动钢管得到三角形钢架，如图 1，则点 A，E 之间的距离是 米；(2)
8、转动钢管得到如图 2 所示的六边形钢架，有ABCD120，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是 米【解后感悟】由图形变化产生的问题包括由点引起的图形变化，图形的平移、旋转、翻转等；图形在变化过程中，抓住不变的图形和量；以三角形、四边形和圆的变化为常见的一种题型本题的关键是添加辅助线构造特殊三角形以及平行四边形4(2016金华)如图，RtABC 纸片中，C90，AC6，BC8，点 D 在边 BC上，以 AD 为折痕折叠ABD 得到ABD，AB与边 BC 交于点 E.若DEB为直角三角形，则 BD 的长是 .5(2016宁波)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点
9、，点 A 的坐标为(5，0)，菱形 OABC 的顶点 B，C 都在第一象限，tanAOC ，将菱形绕点 A 按顺时针方向旋转角4 3(0AOC)得到菱形 FADE(点 O 的对应点为点 F)，EF 与 OC 交于点 G，连结AG.(1)求点 B 的坐标；(2)当 OG4 时，求 AG 的长；(3)求证：GA 平分OGE；(4)连结 BD 并延长交 x 轴于点 P，当点 P 的坐标为(12，0)时，求点 G 的坐标【动点实验题】用如图 1，2 所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图 3 拼接(BC 和 ED 重合)，在 BC 边
10、上有一动点 P.(1)当点 P 运动到CFB 的角平分线上时，连结 AP，求线段 AP 的长；(2)当点 P 在运动的过程中出现 PAFC 时，求PAB 的度数探究二：如图 4，将DEF 的顶点 D 放在ABC 的 BC 边上的中点处，并以点 D 为旋转中心旋转DEF，使DEF 的两直角边与ABC 的两直角边分别交于 M、N 两点，连结MN.在旋转DEF 的过程中，AMN 的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由【方法与对策】本题是几何综合题，运用了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点第(3)问，由发现并证明AMDCND 取得解题的突破点，再利用
11、勾股定理和二次函数的性质求出最小值这种题型要注意问题的前后关系，要利用前面方法来指导后面的问题，要利用特殊到一般的思想，这是中考常见题型【没有画图和动态分析，致使问题分析不全】如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1，4)，B(4，1)，C(1，1)，若双曲线 y(x0)与ABC 有公共点，则 k 的取值范围是_k x第第 40 讲讲 实验与动态型问题实验与动态型问题【例题精析】例 1 (1)如图 1，作 PDAB 于 D，A30，PD APx，y AQPD1 21 2ax2，由图象可知，当 x1 时，y ， a12 ，解得 a1； (2)如图 2，作1 21 21 21 2PDAB 于
12、 D，由图象可知，PB522x102x，PDPBsinB(102x)sinB，y AQPD x(102x)1 21 2sinB，当 x4 时，y ， 4(1024)sinB ，解得，4 31 24 3sinB ，y x(102x) x2 x；(3) x2 x2 x，解得，x10，x22，1 31 21 31 35 31 21 35 3由图象可知，当 x2 时，y x2有最大值，最大值是 222， x2 x2，解得，1 21 21 35 3x13，x22，当 2x3 时，点 P 运动到线段 BC 上某一段时APQ 的面积大于当点P 在线段 AC 上任意一点时APQ 的面积例 2 (1)过 P 作
13、 PEOA 于 E，PQOA，PMOB，四边形 OMPQ 为平行四边形PMOQ1，PMEAOB60，PEPMsin60，ME ，CEOCOMME ，tanPCE，PCE30，321 23 2PE CE33CPM90，又PMOB，CNOCPM90，即 CNOB. (2)的值不发生变化理由如下：设 OMx，ONy.四边形 OMPQ 为菱1OM1 ON形，OQQPOMx，NQyx.PQOA，NQPO.又QNPONC，NQPNOC，即 ，6y6xxy.两边都除QP OCNQ ONx 6yxy以 6xy，得 ，即 . 过 P 作 PEOA 于 E，过 N 作 NFOA 于 F，则1 x1y1 61 OM
14、1 ON1 6S1OMPE，S2 OCNF，.PMOB，PMCO.又1 2S1 S2xPE 3NFPCMNCO，CPMCNO.(x3)2PE NFCMCO6x6S1S2x（6x）181 18.0x6，由这个二次函数的图象可知，0 . 1 2S1 S21 2例 3 (1)如图 1 中，FBDF，FAFE，FAEFEA，BD，FAEB，AEBD， ，AE ，故答案为 . (2)如图 2 中，作 BNFA 于 N，延长AEDBAF FBAE 42 38 38 3AB、DC 交于点 M，连结 BD、AD、BF、CF.在 RtBFN 中，BNF90，BN，FNANAF 2 ，BF，同理得到321 25 2BN2NF27ACDF，ABCBCD120，MBCMCB60，M60，7CMBCBM，MMAF180，AFDM，AFCM，四边形 AMCF是平行四边形，CFAM3，BCMCBDCDB60，CBDCDB，CBDCDB30，M60，MBD90，BD2，BE，2 或 0a (4)0CH8 1 44.2 或 55(1)如图 1，过点 B 作 BHx 轴于点 H，四边形 OABC 为菱形，OCAB，BAHCOA.tanAOC ，tanBAH .又在直角BAH 中，4 34 3AB5，BH AB4
