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1、天津新人教版数学天津新人教版数学 2013 高三单元测试高三单元测试 20推理与证明推理与证明（ 时间：60 分钟 满分 100 分）一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子应是什么颜色的（ ）A白色 B黑色 C白色可能性大 D黑色可能性大2 “所有 9 的倍数（M）都是 3 的倍数（P） ，某奇数（S）是 9 的倍数（M） ，故某奇数（S）是 3 的倍数（P）.”上述推理是（ ）A小前提错 B结论错 C正确的 D大前提错3F（n）是一个关于自然数 n 的命题，若 F（k） （kN）真，则F（k1）真，现已知 F
2、（7）不真，则有：F（8）不真；F（8）真；F（6）不真；F（6）真；F（5）不真；F（5）真.其中真命题是（ ）A B C D4.下面叙述正确的是（ ）A综合法、分析法是直接证明的方法 B综合法是直接证法、分析法是间接证法 C综合法、分析法所用语气都是肯定的 D综合法、分析法所用语气都是假定的5类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ） 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。A B C D6、利用数学归纳法
3、证明“1aa2an1=， aan112(a1，nN)”时，在验证 n=1 成立时，左边应该是 （ ）(A)1 (B)1a (C)1aa2 (D)1aa2a3 7、某个命题与正整数 n 有关，如果当时命题成立，那么)(Nkkn可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那1 kn7n么可推得（ ）A当 n=6 时该命题不成立B当 n=6 时该命题成立C当 n=8 时该命题不成立D当 n=8 时该命题成立8、用数学归纳法证明“” （) 12(212)()2)(1(nnnnnnLL）时，从 “”时，左边应增添的式子是 Nn1knkn到（ ）ABCD12 k) 12(2k112 kk 122 kk
4、9、已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设)21 41 21(211 41 31 211nnnnLL为偶2( kkn数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A时等式成立B时等式成立1 kn2 knC时等式成立D时等式成立22 kn)2(2kn10、数列中，a1=1，Sn表示前 n 项和，且 Sn，Sn+1，2S1成等差 na数列，通过计算 S1，S2，S3，猜想当 n1 时，Sn= （ ）ABCD11212nn1212nnnnn 2) 1( 121n二、填空题（每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上）11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下
5、去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的的个数是 。12、 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形 ABC 中的两边AB、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两222BCACAB互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .13、从 1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),推广到第 个等式为_.n14、设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，(3)n 任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，( )f n则= ；当时，( )f n (4)f（
6、用含 n 的数学表达式表示） 。三、解答题（本大题共四个小题，15 题 11 分，16 题 11 分，17 题12 分，共 24 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）15若 a、b、c 均为实数，且ax22x，by22y，cz22z，求证：a、b、c 中 2 3 6至少有一个大于 0. （12 分）16数列an的前 n 项和记为 Sn，已知a11，an1Sn（n1，2，3，）.n2 n证明：数列是等比数列；Sn14an. （12 分）Sn n17用分析法证明：若 a0，则a 2.(12 分)21 a18 在 ABC 中（如图 1） ，若 CE 是ACB 的平分线，则.AC BCAE B
7、E其证明过程：作 EGAC 于点 G，EHBC 于点 H，CFAB 于点FCE 是ACB 的平分线，EGEH.又，AC BCACEG BCEHSAEC SBEC，AE BEAECF BECFSAEC SBEC.AC BCAE BE（）把上面结论推广到空间中：在四面体 ABCD 中（如图2） ，平面 CDE 是二面角 ACDB 的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是（）证明你所得到的结论.参考答案：一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6C 7A 8B 9B 10B二 11、14 12、13、A G FEB H C图 1ACEBD图 2Fh2h1114、 5 ；12)()
8、2nnN（三 解答题15.(反证法).证明：设 a、b、c 都不大于0，a0，b0，c0，abc0，而 abc（x22y）（y22z） 2 3（z22x） 6（x22x）（y22y）（z22z）（x1）2（y1）2（z1）23，abc0，这与 abc0 矛盾，故 a、b、c 中至少有一个大于 0.16(综合法)证明：由 an1Sn，而 an1Sn1Sn 得n2 nSnSn1Sn，Sn1Sn，2，数n1 n2（n1） n列为等比数列.Sn n由知公比为 2，4Sn nSn1 n1Sn1 n14 n1，Sn14an.an（n1） n117.分析法).证明：要证a 2，只需证21 a2a .1 a2
9、a0，两边均大于零，因此只需证（2）2（a 1 a）2，2只需证 a244a222（a ） ，1 a21 a221 a只需证（a ） ，只需证 a2 （a22） ，1 a1 a21 21 a2即证 a22，它显然是成立，原不等式成立.1 a218结论: 或或SACD SBCDAE BESACD SBCDSAEC SBECSACD SBCDSAED SBED证明：设点 E 是平面 ACD、平面 BCD 的距离分别为 h1，h2，则由平面 CDE 平分二面角 ACDB 知 h1h2.又SACD SBCDh1SACD h2SBCDVACDE VBCDEAE BESAED SBEDVCAED VCBEDVACDE VBCDESACD SBCDAE BEAG FEB H C图 1ACEBD 图 2Fh2h11
