2015年中考数学复习课件+教学案+练习第34讲锐角三角函数

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1、第 34 讲 锐角三角函数和解直角三角形陕西中考 说明陕西 2012201 4 年中考 试题分析 考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值 比重考点 1 锐 角三角函 数1.通过实 例认识锐 角三角函 数 (sinA，cos A，tanA)， 知道 30， 45，60 角的三角 函数值；2. 会使用计 算器由已 知锐角求 其相应的 三角函数 值，由已 知三角函 数值求与 其对应的 锐角2012填空题111实数运算， 涉及 45的 余弦值0.3%考点 2 解 直角三角 形运用三角 函数解决 与直角三 角形有关 的简单实 际问题2013解答题23(2)2圆的切线 的有关证 明，涉及 直角三角

2、形的边角 关系2012解答题208以测量距 离为背景， 考查解直 角三角形 的简单应 用2.8%陕西近几年中考对本节内容的考查主要涉及锐角三角函数、直角三角形的边角关 系、解直角三角形的实际应用，考查的形式比较灵活，预计 2015 年中考，可能会在选择(填空)题中考查锐角三角函数，在解答题中考查直角三角形的边角关系和实际应用1锐角三角函数的意义，RtABC 中，设C90， 为 RtABC 的一个锐角， 则： 的正弦 sin_；的对边斜边 的余弦 cos_；的邻边斜边 的正切 tan_的对边的邻边 230，45，60的三角函数值，如下表：正弦余弦正切30_ _12_32_3345 _22_22_

3、1_60 _32_ _12_33同角三角函数之间的关系：sin2cos2_1_；tan_sin cos 互余两角的三角函数关系式：( 为锐角) sin(90)_cos_； cos(90)_sin_ 函数的增减性：(090) (1)sin，tan 的值都随 _增大而增大_； (2)cos 随 _增大而减小_ 4解直角三角形的概念、方法及应用： 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做 解直角三角形 直角三角形中的边角关系：在 RtABC 中，C90，A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c，则： (1)边与边的关系：_a2b2c2_； (2)角与角的关系：_AB

4、90_；(3)边与角的关系：_sinAcosB ，cosAsinB ，tanA ，tanB _acbcabba 5直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航 海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题 (1)铅垂线：重力线方向的直线；(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角； (4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角； (5)坡角：坡面与水平面的夹角； (6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用 h表示坡的铅直高

5、度，用 l 表示坡的水平宽度，用 i 表示坡度，即 i tan，显然，坡度hl 越大，坡角就越大，坡面也就越陡；(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于 90的锐角叫做方向角 注意：东北方向指北偏东 45方向，东南方向指南偏东 45方向，西北方向指北偏西45方向，西南方向指南偏西 45方向我们一般画图的方位为上北下南，左西右东转化思想 (1)在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为求两条边的问题，这样就 把新知识(求锐角三角函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因此不可避免地用到勾 股定理若原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型(直角边还是斜 边

6、)，再运用定义求解；也可以直接通过字母来判断边的位置和类型，即A 的对边为 BC，B 的对边为 AC，C 的对边为 AB. (2)在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，通过作 高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题注意在画图 过程中考虑一定要周到，不可遗漏某一种情况 方法技巧 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系进行计算，当有些图形 不是直角三角形时，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形 或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决解题时可设未知数进行求解，从要 求的量所在的直角三角形分析，解之，若条件不足，转

7、而先去解所缺条件所在的直角三角 形，然后返回；若条件仍不足，再去解第二次所缺条件所在的直角三角形，直至与全部已知 条件挂上钩，然后层层返回(2012陕西)如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距 离，他先在湖岸上的凉亭 A 处测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东 65方向，然后， 他从凉亭 A 处沿湖岸向正东方向走了 100 米到 B 处，测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北 偏东 45方向(点 A，B，C 在同一水平面上)请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上 的迎宾槐 C 处与湖岸上的凉亭 A 处之间的距离(结果精确到 1 米) (参考数据：sin250.4226，

8、cos250.9063，tan250.4663，sin650.9063，cos650.4226，tan652.1445)解：如图，作 CDAB 交 AB 的延长线于点 D，则BCD45，ACD65， 在 RtACD 和 RtBCD 中，设 ACx，则 ADxsin65，BDCDxcos65，100xcos65xsin65，x207(米)湖心岛上的迎宾槐 C 处100sin65cos65 与凉亭 A 处之间距离约为 207 米锐角三角函数的定义【例 1】 (2014武汉)如图，PA，PB 切O 于 A，B 两点，CD 切O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D.若O 的半径为 r，PCD 的周长

9、等于 3r，则 tanAPB 的值是( B )A. B. C. D.512 1312535 1323 13【点评】 本题主要考查了三角函数的定义及相似三角形的判定和性质，解决本题的 关键是找准线段及角的关系1(2013兰州)ABC 中，a，b，c 分别是A，B，C 的对边，如果 a2b2c2， 那么下列结论正确的是( A ) AcsinAa BbcosBc CatanAb DctanBb解直角三角形 【例 2】 (2012安徽)如图，在ABC 中，A30，B45，AC2，求3AB 的长解：过点 C 作 CDAB 于 D，在 RtACD 中，A30，AC2，CDACsinA20.5，ADACco

10、sA23，在 RtBCD333332 中，B45，则 BDCD，ABADBD333【点评】 将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件2(2014宁夏)在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，C45，sinB ，AD1.求13 BC 的长解：在 RtABD 中，sinB ，又ADAB13AD1，AB3，BD2AB2AD2，BD2.在 RtADC 中，32122C45，CDAD1.BCBDDC212解直角三角形的实际运用 【例 3】 (2014广安)为邓小平诞辰 110 周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整 改，如图，已知斜坡 AB 长 60米，坡角(即BAC)为 45，BCAC，现

11、计划在斜坡中2点 D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线 CA 的休闲平台 DE 和一条新的斜坡 BE(下 面两个小题结果都保留根号) (1)若修建的斜坡 BE 的坡比为1，求休闲平台 DE 的长是多少米？3(2)一座建筑物 GH 距离 A 点 33 米远(即 AG33 米)，小亮在 D 点测得建筑物顶部 H 的仰角(即HDM)为 30.点 B，C，A，G，H 在同一个平面内，点 C，A，G 在同一条直 线上，且 HGCG，问建筑物 GH 高为多少米？解：(1)FMCG，BDFBAC45，斜坡 AB 长 60米，D 是 AB 的中2点，BD30米，DFBDcosBDF3030(米)，BFDF

12、30 米，斜2222坡 BE 的坡比为1，解得 EF10(米)，DEDFEF3010(米)3BFEF3133 答：休闲平台 DE 的长是(3010)米3(2)设 GHx 米，则 MHGHGMx30(米)，DMAGAP333063(米)，在 RtDMH 中，tan30，即，解得 x3021，答：建筑物 GH 的高MHDMx3063333 为(3021)米3【点评】 此题考查了坡度、坡角问题以及俯角、仰角的定义要注意根据题意构造直 角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用3(2014邵阳)一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60的方向出港观光，航行 80 海里至 C 处时发生了

13、侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求 救信号，测得事故船在它的北偏东 37方向，马上以 40 海里每小时的速度前往救援，求 海警船到达事故船 C 处所需的大约时间(温馨提示：sin530.8，cos530.6)解：过点 C 作 CDAB 交 AB 延长线于 D.在 RtACD 中，ADC90，CAD30，AC80 海里，CD AC40 海里12在 RtCBD 中，CDB90，CBD903753，BCCDsinCBD50(海里)，海警船到达事故船 C 处所需的时间大约为 5040 (小时)400.854试题 (2012青岛)如图，某校教学楼 AB 的后面有一建筑物

14、CD，当光线与地面的夹角 是 22时，教学楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE；而当光线与地面夹角是 45时， 教学楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 13 米的距离(B，F，C 在一条直线上)(1)求教学楼 AB 的高度； (2)学校要在 A，E 之间挂一些彩旗，请你求出 A，E 之间的距离(结果保留整数，参考数据：sin22 ，cos22，tan22 )38151625 审题视角 (1)分清已知条件和未知条件(待求)； (2)将问题集中到一个直角三角形中； (3)利用直角三角形的边角之间关系(三角函数)求解 规范解题 解：(1)过点 E 作 EMAB，垂足为 M.设 AB

15、为 x.在 RtABF 中，AFB45，BFABx，BCBFFCx13.在 RtAEM 中，AEM22，AMABBMABCEx2，tan22 ，x12.即教学楼的高度AMMEx2x1325 为 12 m.(2)由(1)可得，MEBCx13121325.在 RtAME 中，cos22，AE27.即 A，E 之间的距离约为 27 m.MEAEMEcos22251516 答题思路 解直角三角形应用题的一般步骤为： 第一步：分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图； 第二步：建模根据已知条件与求解目标，把已知条件与求解量尽量集中在有关的三 角形中，建立一个解直角三角形的数学模型； 第三步：求解利用三角函数有序地