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1、19.4 课题学习课题学习 重心重心(二二)三维目标三维目标 一、一、知识与技能知识与技能 1.进一步认识规则几何图形的重心就是它的几何中心. 2.探究不规则几何图形的重心. 二、二、过程与方法过程与方法 1.通过悬挂法探究三角形的重心. 2.讨论特殊三角形的重心. 3.进一步探究任意多边行的重心. 三、情感态度与价值观情感态度与价值观在进行探索的活动中培养学生合作交流的意识与合情的推理能力. 教学重点教学重点: 用悬挂法探究不规则几何图形的重心.重点是让学生在动手操作的同时,认真思考. 教学难点教学难点:用悬挂法探究不规则几何图形的重心的过程. 教学过程教学过程 一、一、创设问题情境创设问题
2、情境,搭建研究平台搭建研究平台在上一节课我们探索研究了一些几何图形的重心,现在请同学们回顾一下上节课学习的内容.我们采 用了什么样的方法来探究几何图形的重心?我们得到的结论是什么?在上一节课,我们主要是通过实际操作,用手指顶举使物体平衡的方法来寻找几何图形的重心,我们得 到的结论是: (1)线段的重心是线段的中点线段的重心是线段的中点. (2)平行四边形的重心平行四边形的重心,是它的两条对角线的交点是它的两条对角线的交点.现在回过头来我们再想想,我们上节研究的几何图形有什么特点?（我们上节课研究的几何图形都是 规则的几何体）. 我们上节课研究的几何图形都是中心对称图形,所以这些几何图形的重心正
3、好是它们的中心。下面, 同学们再想一想:其他的几何图形,如三角形,其他任意的多边形有没有重心?如果有,它们的重心又如何找? 这些也就是我们这节课要解决的主要问题了. 二、二、讲授新课讲授新课我们这一节内容,和物理之间有着很密切的联系.在物理学的力学部分有一个很重要的力,叫做重力.重 力很重要,可以说离开重力,我们的世界就没有了规则,没有了界限,就会一片混乱.而重力的着力点就叫做物 体的重心.我们在这儿介绍这个力,就是引导同学们试着从力学的角度入手,来探究一些不规则几何图形的重心.探究三探究三: 三角形的重心三角形的重心.活动过程:先分组,然后各种对不同形状的三角形进行研究. 1.在三角形薄板的
4、每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点; 2.用下端系有小重物的细线缠绕在一个小钉上,吊起薄板,记下铅垂线的“痕迹”; 3.在另一个小钉上重复(2)的活动,找到两条铅垂线的交点. 上面的操作同学们都完成了吧?下面我们先来思考一个问题:如果在第三个小钉上重复上述活动中的 (2),那么第三铅垂线会经过前两条铅垂线的交点吗? 同学们想得很正确,这一点确实是这个三角板的重心.前面的学习中我们就知道,用手指顶住物体的重 心位置,物体会保持平衡.同样的道理,将物体悬挂后,物体保持平衡时,说明物体所受的力处于平衡状态,即 每次所保留下来的铅垂线都要经过薄板的重心,那么两条铅垂线的交点就理所当然是薄板的重心了.对于一
5、个任意的三角形来说,我们要找它的重心,不可能每次都把它做成薄板去悬挂,所以我们有必要对上面操作的结果做进一步的分析,得到三角形重心的确切位置.同学们找一下三条铅垂线与三角形三边的交点,看看交点的位置.这三条铅垂线与对边的交点好像是对边的中点. 同学们想办法来证明一下,看是不是边的中点.用刻度尺量一量,确实是三角形边上的中点.我们数学还要有充分的理论依据,请大家认真思考,可以采用逆向思维:如果是中点,会有什么结果,也就 是找找该点为边的中点的理论依据. （思考、讨论）我觉得三角形薄板悬挂后,薄板处于平衡状态,那么说明铅垂线两侧的两部分一样重.这 个薄板很均匀,使用我觉得铅垂线是将三角形薄板分成面
6、积相等的两部分了,根据三角形面积公式,只能是所 分得的两个小三角形的底边相等,所以说铅垂线肯定过了对边的中点.这位同学分析得太精彩了,有理有据,思路条理、清楚,这说明三角形的重心是三条中线的交点.（播放 课件）结论:三角形的三条中线交于一点三角形的三条中线交于一点.这一点就是三角形的重心这一点就是三角形的重心.不同形状、不同类型的三角形的重心又会有什么不同？它们是否都在三角形内部？如下图所示.第一组:我们组是找的锐角三角形的重心,它就在三角形内部.（如图 a）第二组:我们的研究的直角三角形,我们发现直角三角形的重心也在三角形内部（如图 b）第三组:我们研究的是钝角三角形,钝角三角形,钝角三角形
7、的重心仍在三角形上,而且在三角形的内部.很好可以看出,三角形的重心全在三角形的内部，并且是三条中线的交点. 有了上面的内容做依据,我们可以很轻松地来完成下面的探究: 探究四探究四:任意多边形的重心任意多边形的重心. 活动过程: 将任意多边形的薄板分发给每组同学,由学生仿照探究三中的方法,找到任意多 边形的重心. 如图为任意五边形的重心. 在探究的过程中我们发现正五边形,正六边形等图形的重心也是它们的中心. 这样我们就可以得出这样的结论:规则几何图形的重心就是该图形的几何中心,而不规则的几何图形的重 心需通过悬挂法来找.同学们请看大屏幕（播放课件）. 课题总结: 通过这个课题学习活动,可以得出如
8、下结论: （1）对于线段、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形等规则的几何图形,它 们的重心就是该图形的几何中心. （2）对于任何的多边形这些不规则的几何图形,它们的重心就需要采用悬挂法来找. 在得到这些结论的过程中,同学们能够互相配合,充分发挥自己的才智,积极主动地参与到我们的探索 中来,我相信每个同学对这两节课探究都会有很深切的体会. 三、课时小结 在前一节课的探索基础上,我们进一步对、任意多边形等一些不规则几何图形的重心进行了探究.在实 际操作过程中,同学们充分发挥自己的主动性,积极思考、大胆设想,体现了我们探究性学习的主旨,可以 说,我们在这节课中收获是很大的.四、课后作业 1.
9、复习总结两节课的探究结论,并作进一步的思考与认识. 2.将对本课题的探究体验写成一个学习报告,与同学交流. 活动与探究 如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要做 60、30、15等大小的角,可以采用下面的方法（如下图）. （1）对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重和,得到折痕 EF,把纸片展平. （2）再一次折叠纸片,使点 A 落在 EF 上,并使折痕过点 B,得到折痕 BM,同时得到了线段 BN. 观察所得的ABM、MBN 和NBC,在三个角有什么关系?你能证明吗? 通过证明可知,简单而准确.由此,15、60、120、150等角,就都容易得到了. 已知:矩形 ABCD,E、F 分别为边 AB、CD 的中点,N 在 EF 上,且 MN=AM,（如图）,BN=AB. 求;ABM、MBN 和NBC 的大小 解:如右图延长 MN 交 BC 于点 PAM=MN,AB=NB,BM=BM, ABMNBM（SSS）ABM=MBN. 又EF 为矩形 ABCD 的中位线,MN=NP. 又BN=BN,BNM=BNP=Rt.BMNBPN. MBN=NBP. ABM=MBN=NBP=30.
