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1、2011 年上海市高考数学试题（理科）一、填空题（56 分）1、函数1( )2f xx的反函数为1( )fx 。2、若全集UR，集合 |1 |0Ax xx xU，则UC A 。3、设m为常数，若点(0,5)F是双曲线22 19yx m的一个焦点，则m 。4、不等式13x x的解为 。5、在极坐标系中，直线(2cossin )2与直线cos1的夹角大小为 。6、在相距 2 千米的A、B两点处测量目标C，若0075 ,60CABCBA，则A、C两点之间的距离是 千米。7、若圆锥的侧面积为2，底面积为，则该圆锥的体积为 。8、函数sin()cos()26yxx的最大值为 。9、马老师从课本上抄录一个
2、随机变量的概率分布律如下表请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E 。10、行列式ab cd（, , , 1,1,2a b c d ）的所有可能值中，最大的是 。11、在正三角形ABC中，D是BC上的点，3,1ABBD，则AB ADuuu r uuu r。12、随机抽取 9 个同学中，至少有 2 个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001） 。13、设( )g x是定义在R上、以 1 为周期的函数，若( )( )f xxg x在3,4上的值域为 2,5，则( )f x在区间
3、 10,10上的值域为 。14、已知点(0,0)O、0(0,1)Q和0(3,1)R，记00Q R的中点为1P，取01Q P和10PR中的一条，记其端点为1Q、1R，使之满足11(| 2)(| 2)0OQOR；记11Q R的中点为2P，取12Q P和21P R中的一条，记其端点为2Q、2R，使之满足22(| 2)(| 2)0OQOR；依次下去，得到点?!?321P(=x)x12,nP PPLL，则0lim|nnQ P 。二、选择题（20 分）15、若, a bR，且0ab ，则下列不等式中，恒成立的是答答（ ）A 222abab B 2abab C 112 abab D 2ba ab16、下列函
4、数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数为答答（ ）A 1ln|yx B 3yx C | |2xy D cosyx17、设12345,A A A A A是空间中给定的 5 个不同的点，则使123450MAMAMAMAMAuuuu ruuuu ruuuu ruuuu ruuuu rr 成立的点M的个数为答答（ ）A 0 B 1 C 5 D 10 18、设na是各项为正数的无穷数列，iA是边长为1,iia a的矩形面积（1,2,i L） ，则nA为等比数列的充要条件为答答（ ）A na是等比数列。 B 1321,na aaLL或242,na aaLL是等比数列。C 1321,na aa
5、LL和242,na aaLL均是等比数列。D 1321,na aaLL和242,na aaLL均是等比数列，且公比相同。三、解答题（74 分）19、 （12 分）已知复数1z满足1(2)(1)1zii （i为虚数单位） ，复数2z的虚部为2，12zz是实数，求2z。20、 （12 分）已知函数( )23xxf xab ，其中常数, a b满足0ab 。 若0ab ，判断函数( )f x的单调性； 若0ab ，求(1)( )f xf x时x的取值范围。21、 （14 分）已知1111ABCDABC D是底面边长为 1 的正四棱柱，1O是11AC和11B D的交点。 设1AB与底面1111ABC
6、D所成的角的大小为，二面角111AB DA的大小为。求证：tan2 tan； 若点C到平面11AB D的距离为4 3，求正四棱柱1111ABCDABC D的高。22、 （18 分）已知数列na和 nb的通项公式分别为36nan，27nbn（*nN） ，将集合* |, |,nnx xa nNx xb nNU中的元素从小到大依次排列，构成数列123,nc c ccLL。 求1234,c c c c； 求证：在数列 nc中、但不在数列 nb中的项恰为242,na aaLL； 求数列 nc的通项公式。23、 （18 分）已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的
7、距离，记作( , )d P l。 求点(1,1)P到线段:30(35)l xyx的距离( , )d P l；O1DCBAD1C1B1A1 设l是长为 2 的线段，求点集|( , )1DP d P l所表示图形的面积； 写出到两条线段12,l l距离相等的点的集合12|( , )( , )P d P ld P l ，其中12,lAB lCD，, ,A B C D是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2 分，6 分，8 分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 (1,3), (1,0),( 1,3),( 1,0)ABCD。 (1,3), (1,0),( 1,3)
8、,( 1, 2)ABCD 。 (0,1), (0,0),(0,0),(2,0)ABCD。2011 年上海高考数学试题（理科）答案一、填空题1、12x；2、 |01xx；3、16；4、0x 或1 2x ；5、2 5arccos5；6、6；7、3 3；8、23 4；9、2；10、6；11、15 2；12、0.985；13、 15,11；14、3。二、选择题15、D；16、A；17、B；18、D。三、解答题19、解： 1(2)(1)1zii 12zi（4 分）设22 ,zai aR，则1 2(2)(2 )(22)(4)z zi aiaa i，（12 分） 1 2z zR， 242zi （12 分）2
9、0、解： 当0,0ab时，任意1212,x xR xx，则1212 12()()(22 )(33 )xxxxf xf xab 121222 ,0(22 )0xxxxaa，121233 ,0(33 )0xxxxbb， 12()()0f xf x，函数( )f x在R上是增函数。当0,0ab时，同理，函数( )f x在R上是减函数。 (1)( )2230xxf xf xab当0,0ab时，3( )22xa b ，则1.5log()2axb；当0,0ab时，3( )22xa b ，则1.5log()2axb。21、解：设正四棱柱的高为h。 连1AO，1AA 底面1111ABC D于1A， 1AB与底
10、面1111ABC D所成的角为11AB A，即11AB A 11ABAD，1O为11B D中点，111AOB D，又1111AOB D， 11AO A是二面角111AB DA的平面角，即11AO A 111tanAAhAB，111tan22 tanAAhAO。 建立如图空间直角坐标系，有11(0,0, ),(1,0,0),(0,1,0),(1,1, )Ah BDCh11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)ABh ADh ACuuuu ruuuu ruuu r设平面11AB D的一个法向量为( , , )nx y zr ， 111100nABn ABnADn ADruuurr uuurru
11、uuu rr uuuu r，取1z 得( , ,1)nh hr 点C到平面11AB D的距离为 22|04 3|1n AChhdnhh r uuu r r，则2h 。22、 12349,11,12,13cccc； 任意*nN，设213(21)66327nkannbk，则32kn，即2132nnabA1B1C1D1ABCDO1zyxA1B1 C1D1ABCDO1 假设26627nkanbk*132knN（矛盾） ， 2 nnab 在数列 nc中、但不在数列 nb中的项恰为242,na aaLL。 32212(32)763kkbkka，3165kbk，266kak，367kbk 63656667k
12、kkk 当1k 时，依次有111222334,bac bc ac bc， *63(43) 65(42),66(41) 67(4 )nknk knkckNknk knk 。23、解： 设( ,3)Q x x是线段:30(35)l xyx上一点，则22259|(1)(4)2()(35)22PQxxxx，当3x 时，min( , ) |5d P lPQ。 设线段l的端点分别为,A B，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则( 1,0), (1,0)AB，点集D由如下曲线围成12:1(| 1),:1(| 1)lyxlyx ，2222 12:(1)1(1),:(1)1(1)CxyxCxyx 其面积为4S。 选择(1,3), (1,0),( 1,3),( 1,0)ABCD，( , )|0x yx 选择(1,3), (1,0),( 1,3),( 1, 2)ABCD 。2( , )|0,0( , )|4 , 20( , )|10,1x yxyx yyxyx yxyx UU 选择(0,1), (0,0),(0,0),(2,0)ABCD。( , )|0,0( , )|,01x yxyx yyxx U2( , )|21,12( , )|4230,2x yxyxx yxyxUU1-1-11yxOBADB=CA122.5yx-2xy-113ABCDOODCBA31-1yx
