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1、圆圆部分部分一、曲线和方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了：C0),(yxf曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性） 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；（完备性） 那么这个方程叫做曲线方程，这条曲线叫做方程的曲线。 二、圆的定义及其方程 （1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定 长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）（2）圆的标准方程：）圆的标准方程：；圆心；圆心，半径为，半径为；)0()()(222rrbyax),(bar圆的参数方程：圆的参数方程：为参数为参数)；理解理解的含义的含义； (sincos
2、 rbyrax圆的一般方程：圆的一般方程：；圆心；圆心，)04(02222FEDFEyDxyx)2,2(ED半径为半径为；FED42122一般方程的特点：一般方程的特点：和和的系数相同，且不等于零的系数相同，且不等于零；没有没有这样的二次这样的二次2x2yxy项项；0422FED特别地，圆心在坐标原点，半径为 r 的半圆的方程是；222ryx sincosryrx若若，则以线段，则以线段为直径的圆的方程是：为直径的圆的方程是：),(),(2211yxByxA，AB；0)()(2121yyyyxxxx三、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处 理）设与圆；若到
3、圆心之距为；),(00yxP222)()(rbyaxPd在在圆在在圆外外；PC22 02 0)()(rbyaxrd在在圆在在圆内内； PC22 02 0)()(rbyaxrd在在圆在在圆上上；PC22 02 0)()(rbyaxrd四、直线与圆的位置关系四、直线与圆的位置关系：设直线和圆，圆心C到直线l之距为0:CByAxl222)()( :rbyaxC，由直线 和圆联立方程组消去（或）后，所得一元二次方程的判别式为，则dlCxy它们的位置关系如下：相离相离；相切；相切；相交；相交；0rd0rd0rd 注意：这里用注意：这里用与与的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；的关
4、系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；dr 利用利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。 五、两圆的位置关系： （1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解， 则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆 相离。相离。（2）几何法：设圆）几何法：设圆的半径为的半径为，圆，圆的半径为的半径为1O1r2O2r两
5、圆外离两圆外离； 两圆外切两圆外切；2121|rrOO2121|rrOO两圆相交两圆相交； 两圆内切两圆内切212112|rrOOrr；|1221rrOO两圆内含两圆内含；|1221rrOO六、与圆的切线有关的问题：六、与圆的切线有关的问题：（1）若点）若点在圆在圆；则过点；则过点点的切线方程为：点的切线方程为：；),(00yxP222ryxP2 00ryyxx若点若点在圆在圆；则过点；则过点点的切线方程为：点的切线方程为：),(00yxP222)()(rbyaxP2 00)()(rbybyaxax；若点若点在圆在圆；则过点；则过点点的切线方程为：点的切线方程为：),(00yxP022FEyD
6、xyxP02200 00FyyExxDyyxx；（2）斜率为）斜率为且与圆且与圆相切的切线方程为：相切的切线方程为：；k222ryx21krkxy斜率为斜率为且与圆且与圆 相切的切线方程的求法，可设切线为相切的切线方程的求法，可设切线为k222)()(rbyax，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求；mkxym（3）当点）当点在圆外面时，可设切方程为在圆外面时，可设切方程为，利用圆心到直线之，利用圆心到直线之),(00yxP)(00xxkyy距等于半径即距等于半径即，求出，求出即可，或利用即可，或利用，求出，求出，若求得，若求得只有一值，则还只
7、有一值，则还rd k0kk应该有一条斜率不存在的直线应该有一条斜率不存在的直线，此时应补上。，此时应补上。0xx （4）当直线）当直线 和圆和圆相切时，切点的坐标为相切时，切点的坐标为 的方程和圆的方程和圆的方程联立的方程组的解，或的方程联立的方程组的解，或lClC 过圆心与切线过圆心与切线 垂直的直线与切线垂直的直线与切线 联立的方程组的解。联立的方程组的解。ll（5）若点）若点在圆在圆外一点；则过点外一点；则过点点的切线的切点弦方程为：点的切线的切点弦方程为：),(00yxP222ryxP；2 00ryyxx若点若点在圆在圆；则过点；则过点点的切线的切点弦方程为：点的切线的切点弦方程为：)
8、,(00yxP222)()(rbyaxP； 2 00)()(rbybyaxax七、圆的弦长的求法：七、圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为 ，弦心距为，弦心距为，半径为，半径为，则有：，则有：ldr；222)2(rdl（2）代数法：设）代数法：设 的斜率为的斜率为， 与圆交点分别为与圆交点分别为，则，则lkl),(),(2211yxByxA，|11|1|22 BABAyykxxkAB（其中（其中的求法是将直线和圆的方程联立消去的求法是将直线和圆的方程联立消去或或，利用韦达定理求，利用韦达定理求| |,|2121yyxxyx解。解。 ） 八、圆系方程：八、圆系方程：（1）经过两个圆）经过两个圆与与 的交点的的交点的011122FyExDyx022222FyExDyx圆系方程是圆系方程是；0)(22222 11122FyExDyxFyExDyx当当时，表示过两个圆交点的直线时，表示过两个圆交点的直线；1（2）经过直线）经过直线与圆与圆的交点的圆系方程是的交点的圆系方程是0CByAxl：022FEyDxyx；0)(22CByAxFEyDxyx
