《九年级上人教新课标24.2弦切角及和圆有关的比例线段教学资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级上人教新课标24.2弦切角及和圆有关的比例线段教学资料（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初三数学弦切角及和圆有关的比例线段知识精讲初三数学弦切角及和圆有关的比例线段知识精讲一. 本周教学内容：弦切角及和圆有关的比例线段二. 重点、难点：1. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。注意注意：弦切角必须具备三个条件：（1）顶点在圆上（切点） ， （2）一边和圆相切， （3）一边和圆相交 （弦） ，三者缺一不可。2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。3. 弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。弦切角是和圆有关的角之一，其他几种有圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。这四种角之间的关 系及转换是与圆有关的论证及计算
2、的基础。4. 相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。5. 相交弦定理的推论：如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。6. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。7. 切割线定理的推论（或称割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。本节是本章中综合性最强的部分，是本章及初中平面几何中难点之一。其中，相交弦定理、切割线定 理及割线定理在证明等积式、比例式和线段长度的计算中起着极其重要的作用。这三个定理实际是一个整 体，可以看做相交弦交点从圆内移到圆外，由割
3、线旋转到切线时的结果。应用定理和推论解题时，要注意 数形结合的思想、方程思想的运用。由于定理和推论的结论都是两条线段乘积的形式，所以一元二次方程 更显威力。例 1. 如图，经过O 上的点 T 的切线和弦 AB 的延长线相交于点 C。求证：ATCTBCOTABCE证明一：证明一：TC 为O 切线，BTCATBCAATBTBCBTCATB即ATCTBC证明二：证明二：ETATBA又ATC180ETATBC180TBAATCTBC证明三：证明三：在上任取一点 ，连结、EADADDTOTABCEDTC 为O 切线ATCD圆内接四边形 ABTDTBCDATCTBC例 2. 已知：如图，AB 是O 的弦，
4、P 是 AB 上的一点，AB10cm，PA4cm，OP5cm，求O 的半径。BAOP解析：解析：由 P 为 AB 上的一点，且由已知 PA、PB，故联想到相交弦定理，所以需把 OP 向两方延长，分 别与圆相交，再利用相交弦定理解之。ABCDOP解：解：向两方延长 OP，分别交O 于 C、D由相交弦定理有：BPAPCPDP又CPCOOP，DPODOP，CODOBP APCOOP COOPCOOP22Q ABPA104，BP6Q OPOCCO 564549222，Q COCO07，答：答：O 半径为 7cm。此题还可以利用垂径定理、勾股定理求解，过 O 点作 ODAB 于 D，连结 OB，则 DP
5、1，BD5，与上面方法比较繁一些。ODOB2425247，进而求出BAOPD例 3. 如图，ABC 内接于O，PA 切O 于 A，过 BC 的中点 D 作割线 PGF 交 AB 于 E，且 AC/PF。（1）求证：AE2PEDE；（2）若 AE4，PE5，EF8，求 PA 的长。OCABFDPEG（1）证明：证明：PA 是O 切线，PABCPF/AC，CPDB，PABPDB又，QAEPDEBPAEBDEAE DEPE BEAE BEDE PE，Q BDDCPFAC，/ /BEAEAEPE DE2（2）解：解：根据相交弦定理：AEBEGEEFAEEFGEGE 48822，Q PEPGPEGE55
6、23，PFPEEF5813PA 是O 的切线PAPG PF231339PA39例 4. AB 是半圆 O 的直径，C 是 AB 延长线上一点，CD 切半圆于 D，连结 AD，若 AD15，sinC 3 5 求 BC 的长。OACBD分析：分析：由于，因此要把C 放在直角三角形中使用，连结 OD，可以利用切线性质得到 RtsinC 3 5 ODC，于是切线长 CD，半径 OD 及 OC 的比值就可求出了。连结 DB，利用切割线的比求出 AD、DB 的比值， 又可用 RtADB，求出 AB 的长度。解：解：连结 OD、DBCD 是O 切线，ODCD在中，Rt ODCCOD OCsin3 5设，则O
7、DkOCkDCk354Q ODOBBCkkkABk，5326Q CDBACC，CDBCADDB ADBC CDk k2 41 2Q ADDBAD151 275，.AB 是O 直径ADB90ABADDB2222157515 25.615 25kBCk25 25注意：将 RtADB 中，DB、AD 两边的比转化为切线、割线的比，（即）在这类图形中常用。DC ACBC CDDB AD例 5. 如图，P 是O 直径 CB 延长线上的点，PA 切O 于 A，PA15，PB5，弦 AD 交 CB 于点 M。（1）若 MA2MBMP，试判断 CD 与 AP 是否平行，并说明理由。（2）求弦 AC 的长。（3
8、）当点 D 在O 上运动时，可以得到ACD 的最大面积，请计算这个最大面积。（1）CD/APAPBMOCND(D)证明：证明：连结 ABQ MAMB MP2MA MBMP MA又Q AMBPMA AMBPMA PBAM又Q BAMBCD PPCDCDAP/ /（2）解：解：PA 是O 的切线，PBC 是O 的割线PAPB PC2又，Q PAPB155PCPA PB2215 545BCPCPB45540Q PPPABPCA，PABPCAAC ABPA PB15 53设，ABxACx 3Q BCOCAB是 直径，90BCABACx221040x4 10ACx312 10（3）由（2）可知，在ACD
9、 中，AC 是定值点 D 到 AC 的距离最大时，ACD 的面积最大如图，作垂直于弦的直径交于点 ，交优弧于点ACACNABCD此时ACD 的面积最大Q CNANOCOB，ONAB1 21 24 102 10Q ODBC1 220DNONOD202 10SAC DNACD1 21 210 10 2 1020120120 10此题用了圆中的不少知识、概念，综合性较强。例 6. 已知：如图，AB 是O 直径，C 为半圆的三等分点，PB、PC 分别切O 于 C，且 AB14，PA 交 于点 D，DE/PB 交 AB 于点 F，交O 于点 E。（1）求 AD 的长；（2）求 tanAED。ACPBEO
10、DF解：解：（1）连结 BC、ACAB 是直径，ACB90Q CAC为半圆的三等分点，的度数为60ABC30BCAB cos30143 27 3Q PBPCOBC、分别切 于 、PBPCABP，90CBPABC9060PBPCBC7 3在中，Rt ABPAPABBP227 7BPPD AP2PDBP AP227 37 73 7ADPAPD4 7（2）DEPB，ABBPDEAB 于 FAB 是O 直径AEDA EADEQ ADEAPB EAPBQ tanAPBAB BP14 7 32 3 3tanAED2 3 3例 7. 已知：如图，AB 为O 直径，BC 为O 切线，B 为切点，AC 交O 于
11、 D，EDBDDEBAPCDCPA，的延长线与的延长线交于 ，若求的长9 54 5, sin,OBCPDAE321解：解：连结 ODAB 为O 的直径，BC 为O 的切线 ADBABC90sinCBD BC4 5设 BC5k，BD4k则CDBCBDk2239 5k3 5BDk443 512 5BCk553 53Q BCCD AC2ACBC CD29 9 55ABACBC2222534AOAB1 22Q BDEDEDBD12 5Q 12，OAOD 23 13 AEOD/ /PE PAED AO12 5 26 5设，PEaPAa65Q PE PDPA PB 6612 55 54aaa aa28 5
12、5PAa528 11 一. 选择题。1. 如图 1 所示，O 的两条弦 AB、CD 相交于点 E，AC 和 DB 的延长线交于点 P，下列结论中成立的是（ ）A. PCCAPBBDB. CEAEBEDEC. CECDBEBAD. PBPDPCPA2. 如图 2 所示，AB 切O 于 B 点，BE 是O 的直径，切线 AD 与 BE 延长线交于 C 点，若，CDCE3则（ ）A. B. BECE 3ADCDC. D. ABBECBAB3. PT 切O 于 T，PB 为经过圆心的割线交O 于 A 点（PBPA） ，若，则PT 4PA 2 等于（ ）cosBPTA. B. C. D. 4 51 21
13、 83 44. 如图 3，AB 为O 的弦，且 ABOP 于 D，PA 为圆 O 的切线，A 为切点，ABcmODcm83，则 PA 等于（ ）A. B. C. D. 25 3cm20 3cm5cm8cm5. 如图 4 所示，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，CDAB 于 D，CD1，E 是上任意一点，且ACEDCFDC，以下结论正确的是（ ）（1）， （2）E 与F 互补， （3）DEDF 是变量，ECCF（4）DEDF1， （5）FECDA. （1） （2） （3）B. （3） （5）B. （2） （4）D. （4） （5）二. 填空题。1. 在直径为 2 的圆外有一点 P 到圆的最近
14、点的距离为 3，则从 P 点所引圆的切线长是_。2. 如图 5 所示，AD 切O 于 D 点，ABC 为割线，AD24，AB18，则O 半径为A90 _。3. 已知在中，D 是 AC 上一点，以 CD 为直径作O 切 AB 边于 E 点，Rt ABCC90AE2，AD1，则_。SABC4. PA 切圆于 A 点，PBC 是过圆心的割线，交圆于 B、C 两点，则圆的半PAcm 4 2PBcm 2径等于_cm。三. 解答题及证明题。1. 如图 6 所示，已知 AD 是O 的切线，D 是切点，ABC 是O 的割线，DEAO 于 E。求证：AEBACO2. 如图 7 所示，O 是的外接圆，ACB 的平分线 CE 交 AB 于 D，交O 于 E，O 的切线 EF 交ABC CB 的延长线于 F。求证：AEAD EF23. 已知：如图 8 所示，AB 为半圆的直径，C、D 为半
