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1、21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法第 1 课时 直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程 “降次”,转化为两个一元一次方程. 教学目标 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想,并能应用它解决 一些具体问题. 提出问题,列出缺一次项的一元二次方程 ax2+c=0,根据平方根的 意义解出这个方程,然后知识迁移到解 a(ex+f)2+c=0 型的一元二次方 程. 教学重难点 重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程,领会降次转 化的数学思想. 难点:通过根据平方根的意义解形如 x2=n,知识迁移到根据平方根 的意义解形如(x+m)2=n(
2、n0)的方程.教学过程 一、教师导学 学生活动:请同学们完成下列各题 问题 1.填空 (1)x2-8x+ =(x- )2; (2)9x2+12x+ =(3x+ )2; (3)x2+px+ =(x+ )2. 问题 2.如图,在ABC 中,B=90,点 P 从点 B 开始,沿 AB 边向点 A 以 1cm/s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始,沿 BC 边向点 C 以 2cm/s的速度移动,如果 AB=6cm,BC=12cm,P、Q 都从 B 点同时出发,几秒后PBQ 的面积等于 8cm2?老师点评:问题 1:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)( )2 .问题 2:设 x
3、 秒后PBQ 的面积等于 8cm2则 PB=x,BQ=2x依题意,得:x2x=8x2=8根据平方根的意义,得 x=2即 x1=2,x2=-2可以验证,2和-2都是方程x2x=8 的两根,但是移动时间不能是负值.所以 2秒后PBQ 的面积等于 8cm2.二、合作与探究上面我们已经讲了 x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得 x=2,如果 x 换元为 2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把 2t+1 变为上面的 x,那么 2t+1=2即 2t1+1=2,2t2+1=-2方程的两根为 t1=-,t2=-【例 1】解方程:x2+4x
4、+4=1分析:很清楚,x2+4x+4 是一个完全平方公式,那么原方程就转化为 (x+2)2=1. 解:由已知,得:(x+2)2=1 直接开平方,得:x+2=1 即 x1+2=1,x2+2=-1 所以,方程的两根 x1=-1,x2=-3 【例 2】市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14.4m2,求每年人均住房面积增长率. 分析:设每年人均住房面积增长率为 x.一年后人均住房面积就应 该是 10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是 10(1+x)+10(1+x) x=10(1+x)2 解:设每年人均住房面积增长率为 x, 则:10(1+x)2=14.4 (
5、1+x)2=1.44 直接开平方,得 1+x=1.2 即 1+x1=1.2,1+x2=-1.2 所以,方程的两根是 x1=0.2=20%,x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2 应舍去. 所以,每年人均住房面积增长率应为 20%. (学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什 么? 共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,即 “降次转化思想”. 三、巩固练习 教材 P6 练习. 四、能力展示 某公司一月份营业额为 2 万元,第一季度总营业额为 6.62 万元, 求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少? 五、总结提升本节课
6、应掌握:由应用直接开平方法解形如 x2=p(p0),那么 x=转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p0),那么 mx+n=,达到降次转化之目的.六、布置作业教材 P16 习题 21.2 1、2.第 2 课时 配方法 教学内容 通过变形运用开平方法降次解方程. 教学目标 理解通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一 些具体问题. 通过复习可直接化成 x2=p(p0)或(mx+n)2=p(p0)的一元二次方 程的解和不能直接化成上面两种形式的解题步骤. 教学重难点 重点:讲清“直接降次有困难,如 x2+6x-16=0 的一元二次方程的解 题步骤”. 难点:不可直接降次解方程
7、化为可直接降次解方程的“化为”的转 化方法与技巧. 教学过程 一、教师导学 (学生活动)请同学们解下列方程 (1)3x2-1=5 (2)4(x-1)2-9=0 (3)4x2+16x+16=9老师点评:上面的方程都能化成 x2=p 或(mx+n)2=p(p0)的形式,那么可得x=或 mx+n=(p0).如:4x2+16x+16=(2x+4)2二、合作与探究 列出下面问题的方程并回答: (1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不 同呢? (2)能否直接用上面三个方程的解法呢?问题:如图,在宽为 20m,长为 32m 的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的
8、六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为 500m2,道路的宽为多少?解:设道路的宽为 x,则可列方程:(20-x)(32-2x)=500 整理,得:x2-36x+70=0(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处 是:前三个左边是含有 x 的完全平方式而后一个不具有. (2)不能. 既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直 接降次解方程的方程 【例 1】解方程:x2-36x+70=0.老师点评:x2-36x=-70,x2-36x+182=-70+324,(x-18)2=254,x-18=,x1-18=或 x2-18=-,x134,x22.可以验证 x134
9、,x22 都是原方程的根,但 x34 不合题意,所以道路的宽应为 2.【例 2】解下列关于 x 的方程2x2-4x-1=0解:x2-2x-=0 x2-2x=x2-2x+12=+1 (x-1)2=x-1=即 x1-1=,x2-1=-x1=1+,x2=1-可以验证:x1=1+,x2=1-都是方程的根.像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.三、巩固练习 教材 P9 练习 1 2.(1)、(2). 四、能力展示如图,在 RtACB 中,C=90,AC=8m,BC=6m,点 P、Q 同时由A,B 两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动,它们的速度都是1m/s
10、,几秒后PCQ 的面积为 RtACB 面积的一半.五、总结提升本节课应掌握: 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤. 六、布置作业 教材 P17 习题 21.2 3.21.2.2 公式法第 1 课时 一元二次方程根的判别式 教学内容 一元二次方程根的判别式,即 =b2-4ac. 教学目标 1.熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况;2.会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围. 教学重难点 1.运用判别式求出符合题意的字母的取值范围; 2.运用判别式判别一元二次方程根的情况. 教学过程 一、教师导学 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式,我们知道 =b2
11、-4ac.当 0 时,方程有两个不等的实数根;=0 时,方程有两个相 等的实数根;0,即-12k+10,k0,即 0. 所以无论 m 取何值,方程有两个不相等的实数根. 说明:此类题目要先把方程化成一般形式,再计算出 ,如果不能 直接判断 情况,就利有配方法把 配成含有完全平方的形式,根据 完全平方的非负性,判断 的情况,从而证明出方程根的情况.三、巩固练习1.不解方程,判别方程x2-4x+8=0 的根的情况;2.关于 x 的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式为1,求 m 的值及该方程的根;3.已知 m 为非负整数,且关于 x 的方程(m-2)x2-(2m-3)x
12、+m+2=0 有两个实数根,求 m 的值.四、总结提升 本节课应掌握: 一元二次方程根的判别式的定义及其运用,为后面学习用公式法 解一元二次方程打好基础. 五、布置作业 教材 P17习题 21.2 4、12、13 第 2 课时 公式法 教学内容 1.一元二次方程求根公式的推导过程; 2.公式法的概念; 3.利用公式法解一元二次方程. 教学目标 1.知识与技能:理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式 法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程. 2.过程与方法:复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程, 引入 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二 次方程.
13、 教学重难点 重点:求根公式的推导和公式法的应用. 难点:一元二次方程求根公式法的推导. 教学过程 一、教师导学 (学生活动)用配方法解下列方程 (1)6x2-7x+1=0 (2)4x2-3x=52老师点评:(1)移项,得:6x2-7x=-1;二次项系数化为 1,得:x2-x=-;配方,得:x2-x+()2=-+()2;(x-)2=;x-=;x1=+=1;x2=-+=.(2)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评). (1)移项; (2)化二次项系数为 1; (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方; (4)原方程变形为(x+m)2=n 的形式; (5)如果右边是非负数,就可
14、以直接开平方求出方程的解,如果右 边是负数,则一元二次方程无解. 二、合作与探究 如果这个一元二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0(a0),你能否用上 面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.问题:已知 ax2+bx+c=0(a0)且 b2-4ac0,试推导它的两个根x1=,x2=分析:因为前面系数是具体数字方程已做得很多,我们现在不妨把 a、b、c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解:移项,得:ax2+bx=-c二次项系数化为 1,得 x2+ x=- ;配方,得:x2+ x+()2=- +()2;即(x+)2=;b2-4ac0 且 4a20;0;
15、直接开平方,得:x+=;即 x=;x1=,x2=由上可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根由方程的系数a、b、c 而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0,当 b2-4ac0 时,将 a、b、c 代入式子 x=就得到方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根. 【例】用公式法解下列方程. (x-2)(3x-5)=1 分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后 代入公式即可. 解:将方程化为一般形式 3x2-11x+
16、9=0; a=3,b=-11,c=9;b2-4ac=(-11)2-439=130;x=;x1=,x2=三、巩固练习教材 P12 练习 1.(1)、(3)、(5)四、能力展示某数学兴趣小组对关于 x 的方程(m+1)+(m-2)x-1=0 提出了下列问题.(1)若使方程为一元二次方程,m 是否存在?若存在,求出 m 并解此方程.(2)若使方程为一元一次方程,m 是否存在?若存在,请求出. 你能解决这个问题吗? 五、总结提升 本节课应掌握: (1)求根公式的概念及其推导过程; (2)公式法的概念; (3)应用公式法解一元二次方程; (4)初步了解一元二次方程根的情况. 六、布置作业教材 P17 习题 21.2 5. 21.2.3 因式分解法 教学目标 1.知识与技能:学会用因式分解的方法解某些一元二次方程,因式 分解的具体方法有:提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等. 2.过程与方
