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1、2008 北京大学自主招生数学试题1 求证：边长为 1 的正五边形对角线长为51 21xx1-xxx54321EDCBA略解：三角形 ABE三角形 DAE则：1 1 51 2 51AC=1+x=2xx xx对角线2 已知六边形 AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,A+B+C=A1+B1+C1求证ABC 面积是六边形 AC1BA1CB1的一半PBCAB1C1A1略解：如图得证3 已知1231231223311 22 33 1123123123123min(,)min( ,)max(,)max( ,)aaabbba aa aa abbb bb ba a ab b b
2、a a ab b b求证：4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多 9 支 南方球队总得分是北方球队的 9 倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得 1 分 败得 0 分）解：设北方球队共有 x 支，则南方球队有 x+9 支所有球队总得分为2 29(29)(28)(29)(4)2xxxCxx南方球队总得分为9 (29)(28)9(9)(4) 10210xxxx北方球队总得分为(29)(4) 10xx南方球队内部比赛总得分2 9xC北方球队内部比赛总得分2 xC(29)(4)(1)0102xxx x解得：112291122911 169333x因为为整数(29)(4) 10xxx=6 或 x=8当 x=
3、6 时所有球队总得分为=2102 29(29)(28)(29)(4)2xxxCxx南方球队总得分为=1899 (29)(28)9(9)(4) 10210xxxx北方球队总得分为=21(29)(4) 10xx南方球队内部比赛总得分=1052 9xC北方球队内部比赛总得分=152 xC北方胜南方得分=21-15=6北方球队最高得分=5+6=11因为 1115=165，b2，b3bn）求证：d（u，w）d（v，w）d（u,v）此问题与计算机中的“二进制”有关。前两问是排列组合计数问题，尤其是第三问有一定的挑战性。可把d（u,v）转化为一个绝对值问题4.突出对思维能力和解题技巧的考查近几年的自主招生试
4、卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相当高的层次，有时甚至达到相当于数学竞赛的难度。例如，2007年交大冬令营卷中有这样一个问题：设f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a，试证明对任意实数a：（1）方程f(x)=0总有相同实根（2）存在x0，恒有f(x0)0这两问解决的策略和方法是：换一个角度看成一个关于a的一次函数。应试和准备策略针对上述自主招生试题特点，学生复习时应注意以下几点。1.注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都靠平时积累，剩下的就是个人的现场发挥。数学还是要靠平时扎扎实实的学习才能考出好成绩，因此，学生平时必须把基础知识打扎实。另外，对上面提
5、及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵、行列式等也不可忽视。2.适当做些近几年的自主招生的真题俗话说：知己知彼，百战百胜。同学们可适当训练近几年自己所考的高校所出的自主招生试题，熟悉一下题型和套路。3.注重知识的延伸和加深复旦、交大、清华等全国重点院校自主招生试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍简单，有些问题稍有深度，这就要求考生平时注意知识点的延伸和加深。例如2008年复旦卷的第77题：四十个学生参加数学奥林匹克竞赛。他们必须解决一个代数学问题、一个几何学问题以及一个三角学问题。具体情况如下表所述。其中有三位学生一个问题都没有解决。问：三个问题都解决的学生数是( )。A.
6、5 B.6 C.7 D.8此题若是用画图、文氏图等方法虽能解决，但花费时间较多。若是知题三个集合的容斥原理,|ABC|=|A|+|B|+|C|-(|AB|+|AC|+|BC|)+|ABC|，只要代入公式，马上就可解决。又如第88题：设x1,x2,x3是方程x3+x+2=0此题若是知题三次方程的韦达定理，则也容易解决。而三次方程和韦达定理虽然可推导出来，但平时同学们对二次方程的韦达定理很熟悉，对三次方程则比较陌生。又比如，柯西不等式可解决许多不等式问题，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生对此不熟悉。总之，同学们若是多注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高临下的感觉。【09自主招生
7、】自主招生数学复习点睛时间： 2008-12-23 09:06:12 作者：文卫星 来源：文汇报由于各高校选拔目标不尽相同，考查各有侧重，自主招生笔试对数学科目的要求也不尽相同。如2008年北京大学的试题中有多个解答题，难度较大，有点竞赛题的味道；复旦2007年前文理大综合，总体题量大，数学部分是2530道选择题，难度一般，计算量也不大，但对思想方法要求较高，2008年有解答题，难度加大；上海交大2008年冬令营试题与高考相比，整体起点比较高，但并不很难，填空题（没有选择题）和解答题都相当于高考试卷中等以上难度，试题不带有明显的竞赛痕迹，比较切合学生实际情况。对即将参加2009年各高校自主招生
8、考试的学生，有如下几条复习建议：1、注意客观题的解题技巧训练。因为目前高校自主招生中客观题的分值大，而且相对于解答题，客观题较易得分。对选择题，运用较多的是特殊值法、排除法、数形结合法、代入检验法以及几种方法的综合使用；对填空题，运用较多的是特殊值法、数形结合法，有时观察和构造模型也很奏效。2、不必刻意做太多的解答题，押题做法不可取，只要能正常发挥自己分析和解决问题的水平就可以。3、保持良好心态。高校自主招生考试大多强度较高，考试的心态直接影响考试策略的运用、方法的选择以及计算的准确性和速度。因此考生对考试既要认真对待，又不要毕其功于一役，要认识到“多一次参与的机会，多一份经历”，胜不骄，败不
9、馁。4、不要影响正常学习。对自主招生考试，尽管有些学生志在必得，但对多数人来说只是一场高考前的“练兵”，如果为此耽误太多时间和精力，落下太多课程指望日后恶补是不现实的。因为自主招生考试而影响正常学习就得不偿失了。我们来看几道往年复旦和交大自主招生考试中的试题，大家可以从中了解一些情况，便于复习时自我把握。例（复旦）在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(3，4)，B(6，0)，C(-5，-2)，则A的平分线所在直线的方程为_。A.7x-y-17=0；B.2x+y+3=0；C.5x+y-6=0；D.x-6y=0解答：这道题直接计算较繁，如果注意到A的平分线肯定过A点，那只要把A点坐标
10、一一代入四个选项检验，就可知只有A的方程满足条件。例（交大）若曲线C1:x2-y2=0与曲线C2:(x-a)2+y2=1有3个交点，则a=_。解答：利用数形结合一看便知答案为1，若直接解两个方程联立的方程组可能又会有学生会解错，不妨看看问题出在哪里。例（交大）世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛。按照规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分。比赛结束后前两名可以晋级。（1）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分。于是:甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线。问：甲、乙专家哪个说得对？为什么？（2）若不
11、考虑（1）中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？解答：这是一道趣味性很浓的试题，解答本身用不到多少高中数学知识，但对逻辑推理能力要求较高，能考查一个人的学习潜能。结论：（1）乙专家说得对；（2）中国队要至少得13分才能确保晋级。复旦、交大自主招生考试英语试题解析时间： 2008-12-25 14:07:29 作者： 来源：新民晚报近年来，作为上海市自主招生考试主打内容之一的英语考试在形式和内容上不断推陈出新，总的趋势是对词汇量的要求越来越高，阅读中出现了一些科普性的文章。由于各个高校的自主招生英语试题在题型和考察重点上相差较大，本文以复旦大学和交通大学为例介绍和分析英语自主招生考试的题型、考
12、点、变化趋势以及准备时的注意事项。复旦大学自主招生英语试题题材广泛，词汇量、阅读量、知识量较大复旦大学的自主招生考题由200个选择题组成，共1000分，英语共30题左右，包括语法与词汇、完形填空和阅读理解三个题型。语法与词汇部分考察语法、固定搭配、短语、形近词辨析以及生词，06、07年各8题，08年16题。语法题只有一题，考察的重点是定语从句和非谓语动词等。固定搭配题主要考短语中的介词，每年都至少考一题，如 beidentifiedwith（2006），befedupwith（2007），restononeslaurels（2008）。这里的第二个短语比较基础，第一个短语稍有难度，最后一个短语
13、有点偏，意思是“满足于已取得的成绩、不思进取”。固定搭配还可能考一些其他短语，如 rawscore（原始分数）（2006）。这就要求考生在平时学习英语的时候多注意词汇的搭配使用。对短语的考察多是一些动词短语，尤其是由一个动词构成的不同动词短语，如 setout，setabout，setoff，setup，fallbehind，fallbackon，fallto，fallunder，要注意区分它们的不同意思和用法。对形近词的考察有两种，一是拼写比较相似的词，如rise，raise，arise，arouse。另一种是同一个词根加不同后缀构成的词，如sensitive，sensible，sensor
14、y。生词题的比重最大，尤其2008年的试题，16个题目中的11个都可以归为生词题。这类题目就是考察学生的词汇量，要求背一些大学英语四级词汇。对词汇量要求越来越高也是英语自主招生考试的一个总体趋势。完形填空考察的是学生的英语综合能力，涉及到阅读理解能力、逻辑推理能力、词的用法、固定搭配、对短语的掌握、形近词和同义词辨析以及语法知识等。这一部分有个别的难词，如census，municipal，secession，morale，provoke。如果时间允许，做完这一部分题目后再核查一遍是非常必要的，核查时如果拿不准，仍应相信第一感觉阅读部分题材涉及面较广，有社会问题，如教师素质，历史文化、经济、人物
15、传记等，去年出现了有关机器人的科普性文章。此部分的主要题型包括具体细节题、推断题、词义或短语意思题、文章或段落大意题。前两种类型的题目居多，这与大学英语四级考试的阅读比较相似。最后，考题中偶尔会有一道课外知识题。比如，06年的一道题给出了1863年AbrahamLincoln所做的“葛底斯堡演说”的第一句话，问这是哪个国家的。交通大学英语自主招生考试题型多变，作文大餐，大学四六级考试特点明显交通大学的自主招生英语试题内容更加丰富，题型更加多变。最初的题型包括听力理解（短对话、短文和做笔记填空）、阅读理解、语法与词汇、翻译和作文。而目前，语法、听力和翻译部分取消了，加大了对阅读和词汇的考察，增加
16、了完形填空。其最显著的特点是两篇作文，一小一大，往往占一半分数。词汇题较复旦的考题稍简单些，偏词较少。阅读题两篇，难度适中，有些生词有注释。一篇15个选项的完型填空，比阅读理解稍难。写作是交大自主招生英语考题最重要的部分，不仅分值高，而且字数要求也高。小作文是应用文，一般是书信或便条。大作文一般是议论文，对某种社会现象做出评论，试卷给出提纲，字数不少于250。这里的难点是，应用文要记清楚格式，大作文要在有限的时间内写出够字数的文章。中学生写的作文基本上都在100词左右，要写250词，考生必须好好构思一下，想想怎样才能写长。写作必须注意内容和语言两个方面。首先文章要切题，表达思想清楚，文字通顺，连贯性好。其次，要基本上没有语言错误。考生拿到作文题后先要仔细审题，把握好文章的重点和方向，并注重连词、句子副词及句首短语的使用以
