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1、北京西城区北京西城区 2008 年抽样测试年抽样测试高三数学试卷（文科）高三数学试卷（文科） 2008.5本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。共 150 分。考试时间 120 分钟。第一卷第一卷（选择题 共 40 分）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集 I=R，集合，则集合等于,|1|0ABxx xxIABIA B| 10xx C D|01xx| 11xx 2双曲线的渐近线方程是2 214yx A B4yx 1 4yx C D2yx 1 2yx 3设 m，n 表示不同的直线，表示不同的平面，
2、且。则“”是“, ,m n”的mn且A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件4在等差数列中，若，则 n 等于 na1313,12,aa2na A 23 B24C25 D265圆的圆心到直线的距离是2211yx30xyA B1 31 2C D12 26设，函数，若，则等于4 2sinfxx3 44fA B126C D12 67函数的图象按向量平移后恰在此时好经过原点，则 a 等log01ayxaa且3,1n 于A B23C D1 21 38袋中装有分别编号为 1，2，3，4 的 4 个白球和 4 个黑球，从中取出 3 个球，则取出球的编号互不相同的取法有A种 B
3、28 种24C 32 种 D36 种第二卷第二卷（非选择题 共 110 分）二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 发。把答案填在题中横线上。发。把答案填在题中横线上。 ）9从全年级学生的数学考试成绩中，随机抽取 10 名学生的成绩，抄录如下：（单位：分）82 90 74 81 77 94 82 68 89 75根据样本频率分布估计总体分布的原理，该年级学生的数学考试成绩在 79.585.5 之间的概率约为 。10设向量，若，则实数= 。,12,1abxxabx11已知点的坐标满足条件则变量的最大值是 ,P x y0 0 20x y xy
4、 2xy。12在的展开式中，的系数是 ；展开式中各项系数的和为 421x2x。13将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使平面 ACD平面 ABC，则折起后B，D 两点的距离为 ；三棱锥 DABC 的体积是 。14设函数的定义域分别为，且。若对于任意，都有 ,fgxx,fgDDfgDDfxD，则称函数为在上的一个延拓函数。设， gfxx gx fxgD 20xfxx为 gx在 R 上的一个延拓函数，且是偶函数，则= 。 fx gx gx三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明
5、过程或演算步骤。 ）15 （本小题满分 12 分）已知函数的图象经过点和。 sincosfaxbxx, 03,12（）求实数 a 和 b 的值；（）若，求的最大值及相应的值。0,x fxx16 （本小题满分 13 分）设甲、乙两人每次投球命中的概率分别是，且两人各次投球是否命中相互之间没1 1,3 2有影响。（）若两人各投球 1 次，求两人均没有命中的概率；（）若两人各投球 2 次，求乙恰好比甲多命中 1 次的概率。17 （本小题满分 14 分）如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1=，AB=1，E 是 DD1的中点。2（）求证：B1DAE；（）求二面角 CAED 的大小。 （）
6、求二面角 CAED 的大小。18 （本小题满分 14 分）在数列中， na113,2232,n nnaaannN 且（）求的值；23,aa（）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；nan na（）求数列的前 n 项和。 nanS19 （本小题满分 14 分）已知抛物线的方程为，F 是抛物线的焦点，过点 F 的直线 与抛物线相交于22xpylA、B 两点，分别过点 A、B 作抛物线的两条切线 和，记 和相交于点 M。1l2l1l2l（）证明： ；1l2l（）求点 M 的轨迹方程。20 （本小题满分 14 分）设，函数。aR 3341fxxax（）求的单调区间； fx（）若对任意，不等式恒成立，求
7、 a 的最大值；2, 0x 0fx （）若方程存在三个相异的实数根，求 a 的取值范围。 0fx高三数学（文科）参考答案高三数学（文科）参考答案2008.5一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。9.0.3 10.1 11.412.24:81 13.1：45 14.2x注：两空的题目，第一个空 2 分，第二个空 3 分。三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小
8、题，共小题，共 80 分。分。15.（本小题满分 12 分）（I）解：函数=的图象经过点和，Q( )f xsincosaxbx,03,122 分 sincos0,33sincos1,22abaab 即 4 分310,221.ab a 解得 =1，=. 6 分ab3（II）解：由（I）得. 8 分( )sin3cos3f xxxx， . 9 分0xQ2 333x当，即时，取得最大值 1. 11 分32x5 6xsin 23x在上的最大值为 2，此时. 12 分( )f x0,5 6x16.（本小题满分 13 分）（I）解：记“甲投球命中”为事件， “乙投球命中”为事件,则,相互独立，ABA B且
9、,.1( )3P A 1( )2P B 那么两人均没有命中的概率. 1()( ) ( )13PP ABP A P B111235 分(II) 解：记“乙恰好比甲多命中 1 次”为事件， “乙恰好投球命中 1 次且甲恰好投球命中 0 次”为事件C,“乙恰好投球命中 2 次且甲恰好投球命中 1 次”事件,则, ,为互斥事1C2C12CCC1C2C件., 8 分 , 11 分2 1 1212()29P CC2 21 22211 21()23 39P CCC. 13 分121( )()()3P CP CP C17.（本小题满分 13 分）解法一：（1）证明：连结.BD是正四棱柱，1111ABCDABC
10、 DQ平面,1B BABCD是在平面上的射影，BD1B DABCD,ACBDQ根据三垂线定理得，. 5 分1ACB D（II）解：设,连结.ACBDFIEF平面,且,DE QABCDACBD根据三垂线定理得,又,ACFEACFB是二面角的平面角. 9 分EFBQEACB在中，由，得. 12 分Rt EDF2 2DEDF45EFD-=，EFB18045135即二面角的大小是. 13 分EACB135解法二：解法二：是正四棱柱，1111ABCDABC DQ、两两互相垂直.DADC1DD如图，以为原点，直线,分别为轴，DDADC1DDx轴，轴，建立空间直角坐标系. 1 分yz，,. 3 分(0,0,
11、0)D(1,0,0)A(1,1,0)B(0,1,0)C1(1,1,2)B（I）证明：, ,( 1,1,0)AC Q1(1,1,2)DB ,10AC DB. 6 分 1ACB D（II）解：连结,设,连结.BDACBDFIEF平面,且,DE QABCDACBD,ACFE ACFB是二面角的平面角. 9 分EFBEACB底面是正方形 , ,QABCD1 1,02 2F1 1,02 2FB,112,222FE , 12 分2cos,2FB FEFB FE FB FE 二面角的大小是. 13 分EACB13518.（本小题满分 14 分）（I）解：（且）,113,21nnaaan Q2,n *nN，2 分 . 4 分214 16aa 326 11aa （II）证明：，111(21)1(1)1nnnnanann anan Q数列是首项为，公比为的等比数列. 7 分nan114a 1，即，14 ( 1)nnan 14 ( 1)nnan 的通项公式为 9 分 na1*4 ( 1)()n
