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1、镇江精锐教育- 1 -全等三角形问题中常见的辅助线的作法全等三角形问题中常见的辅助线的作法全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等.思路： （1，执果索因，2，由条件到结论 3，结论条件互推）全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等.思路： （1，执果索因，2，由条件到结论 3，结论条件互推）1.等腰三角形“三线合一”法：1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形构造全等三角形2.倍长中线：2.倍长中线：遇到三角形的中
2、线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线3.角平分线在三种添辅助线遇到角平分线在三种添辅助线的方法， （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4.垂直平分线联结线段两端:4.垂直平分线
3、联结线段两端:已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。5.用“截长法”或“补短法” ：5.用“截长法”或“补短法” ：截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6.图形补全法：6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为 30、60 度的作垂线法：7.角度数为 30、60 度的作垂线法：
4、遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或
5、遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数， 这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数， 这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。镇江精锐教育- 2 -DCBAEDFCBA一、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等例 1、（ “希望杯” 试题） 已知， 如图ABC 中， AB=5， AC=3， 则中线 AD 的取值范围是_.例 2、如图，AB
6、C 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.EDCBA应用：应用：1、 （09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90 ,BADCAE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2） 将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.EDCBA四、借助角平分线造全等四、借助角平
7、分线造全等1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：镇江精锐教育- 6 -OE=OD2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由； （2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长.应用：应用：1、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全 等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。
8、请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你 在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。EDGFCBA(第 23 题图)OPAMNEBCDFACE FBD图图图镇江精锐教育- 7 -NMEFACBAFEDCBA五、旋转五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。 （1）当MDN绕点 D 转动时，求证
9、 DE=DF。 （2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则AMN的周长为；BCDNMA应用：应用：镇江精锐教育- 8 -1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC ，60MBN ，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF， 当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1） ，易证AECFEF 当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结
10、论是否成 立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出 你的猜想，不需证明2、 （西城 09 年一模）已知:PA=2,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在 直线 AB 的两侧. (1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长; (2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应APB 的大小.（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN镇江精锐教育- 9 -3、在等边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系图 1图 2图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是； 此时LQ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还 成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时， 若 AN=x，则 Q=（用x、L 表示）
