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1、5.4 解斜三角形知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=.Aa sinBb sinCc sin利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2+c22bccosA；b2=c2+a22cacosB；c2=a2+b22abcosC.在余弦定理中，令 C=90，这时 cosC=0，所以 c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由可得c
2、osA=；bcacb 2222cosB=；cabac 2222cosC=.abcba 2222利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.点击双基1.在ABC 中，若 2cosBsinA=sinC，则ABC 的形状一定是A.等腰直角三角形B.
3、直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：由 2cosBsinA=sinC 得a=c，a=b.acbca222答案：C2.下列条件中，ABC 是锐角三角形的是A.sinA+cosA=B.051ABBCC.tanA+tanB+tanC0D.b=3，c=3，B=303解析：由 sinA+cosA=51得 2sinAcosA=0，A 为钝角.2524由0，得0，cos，0.B 为钝ABBCBABCBABC角.由 tanA+tanB+tanC0，得 tan（A+B）（1tanAtanB）+tanC0.tanAtanBtanC0，A、B、C 都为锐角.由=，得 sinC=，C=或.Bb sinCc s
4、in23 3 32答案：C3.ABC 中，a、b、c 分别为A、B、C 的对边，如果a、b、c 成等差数列，B=30，ABC 的面积为 ，那么 b 等于23A.B.1+2313C.D.2+232 3解析：a、b、c 成等差数列，2b=a+c.平方得a2+c2=4b22ac.又ABC 的面积为 ，且B=30，故由 S23ABC= acsinB= acsin30= ac= ，得 ac=6.a2+c2=4b212.由余弦21 21 41 23定理，得 cosB=，解得 b2=4+2.acbca 2222 6212422bb 442b 233又 b 为边长，b=1+.3答案：B4.已知（a+b+c）
5、（b+ca）=3bc，则A=_.解析：由已知得（b+c）2a2=3bc，b2+c2a2=bc.= .A=.bcacb 2222 21 3答案：35.在锐角ABC 中，边长 a=1，b=2，则边长 c 的取值范围是_.解析：若 c 是最大边，则 cosC0.0，c.abcba 22225又 cba=1，1c.5答案：（1，）5典例剖析【例 1】 ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，如果 a2=b（b+c） ，求证：A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c
6、）中，得 sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2Asin2B=sinBsinC=sinBsin（A+B）22cos1A 22cos1B（cos2Bcos2A）=sinBsin（A+B）21sin（A+B）sin（AB）=sinBsin（A+B） ，因为 A、B、C 为三角形的三内角，所以 sin（A+B）0.所以sin（AB）=sinB.所以只能有 AB=B，即 A=2B.评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由 a2=b（b+c） ，得 cosA=bcacb 2222=，cos2
7、B=2cos2B1=2（）21=bccbbcb 222）（）（ bbc 2 acbca 22221=.2222ccbbccb）（）（ bbc 2所以 cosA=cos2B.因为 A、B 是ABC 的内角，所以 A=2B.（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?解：由题设 a2=b（b+c） ，得=cba ab，作出ABC，延长 CA 到 D，使 AD=AB=c，连结 BD.式表示的即是=，所以BCDABC.所以1=D.DCBC BCACABCDabc 21又 AB=AD，可知2=D，所以1=2.因为BAC=2+D=22=21，所以 A=2B.评述：近几年的高考题
8、中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.【例 2】已知锐角ABC 中，sin（A+B）= ，sin（AB）= .53 51（1）求证：tanA=2tanB；（2）设 AB=3，求 AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：sin（A+B）= ，sin（AB）= ，53 51 51sincoscossin53sincoscossinBABABABA=2.BABABAtantan51sincos52cossin tanA=2tanB.（2）解：A+B，sin（A+B）= .
9、2 53tan（A+B）= ，43即= .将 tanA=2tanB 代入上式整理得BABA tantan1tantan 432tan2B4tanB1=0，解得 tanB=（负值舍去）.得262 tanB=，tanA=2tanB=2+.262 6设 AB 边上的高为 CD，则 AB=AD+DB=+=.由ACD tanBCD tan623CDAB=3 得 CD=2+，所以 AB 边上的高为 2+.66评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.【例 3】在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、C 的对边长，已知 a、b、c 成等比数列，且 a2c2=acbc，求A 的
10、大小及的值.cBbsin剖析：因给出的是 a、b、c 之间的等量关系，要求A，需找A 与三边的关系，故可用余弦定理.由 b2=ac 可变形为=a，再用cb2正弦定理可求的值.cBbsin解法一：a、b、c 成等比数列，b2=ac.又 a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在ABC 中，由余弦定理得cosA= ，A=60.bcacb 2222 bcbc 221在ABC 中，由正弦定理得 sinB=，aAbsinb2=ac，A=60，=sin60=.acb cBb60sinsin223解法二：在ABC 中，由面积公式得 bcsinA= acsinB.21 21b2=ac，A=60，bcsinA
11、=b2sinB.=sinA=.cBbsin 23评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.闯关训练夯实基础夯实基础1.在ABC 中， “A30”是“sinA ”的21A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在ABC 中，A300sinA1sinA；sinA2130A150A30.21答案：B2.如图，ABC 是简易遮阳棚，A、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成 40角，为了使遮阴影面 ABD面积最大，遮阳棚 ABC 与地面所成的角为ACDB阳光地面A.75B.60C.50D.45解析
12、：作 CE平面 ABD 于 E，则CDE 是太阳光线与地面所成的角，即CDE=40，延长 DE 交直线 AB 于 F，连结 CF，则CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为.要使 SABD最大，只需DF 最大.在CFD 中，=.40sinCF ）（140sinDFDF=. 40sin140sin）（CFCF 为定值，当=50时，DF 最大.答案：C3.在ABC 中，角A、B、C 所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S= （a2+b2c2） ，则C 的度数是_.41解析：由 S= （a2+b2c2）得41absinC= 2abcosC.tanC=1.C=.21 41 4答案：454.在ABC 中
13、，若C=60，则=_.cab cba 解析：=cab cba ）（cacbbcbaca 22=.（*）222cbcacabbcacbaC=60，a2+b2c2=2abcosC=ab.a2+b2=ab+c2.代入（*）式得=1.222cbcacabbcacba答案：15.在ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是A.b=20，A=45，C=80B.a=30，c=28，B=60C.a=14，b=16，A=45D.a=12，c=15，A=120解析：由 a=14，b=16，A=45及正弦定理，得=，所16sin B 14sin A以 sinB=.因而 B 有两值.724答案：C培养能力培养能力
14、6.在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，依次成等比数列，求 y=的取值范围.BBB cossin2sin1 解：b2=ac，cosB= （ + ） acbca 2222 acacca 222 21 ca ac 21.210B，3y=sinB+cosB=sin（B+）.B+BBB cossin2sin1 BBBB cossincossin2）（24 4，4 127sin（B+）1.故 1y.22 427.已知ABC 中，2（sin2Asin2C）=（ab）sinB，外接圆2半径为.2（1）求C；（2）求ABC 面积的最大值.解：（1）由 2（sin2Asin2C）=（ab）
15、sinB 得 2（22）=（ab）.224Ra224Rc Rb 2又R=，2a2c2=abb2.a2+b2c2=ab.cosC= .abcba 2222 21又0C180，C=60.（2）S= absinC= ab21 21 23=2sinAsinB=2sinAsin（120A）33=2sinA（sin120cosAcos120sinA）3=3sinAcosA+sin2A3= sin2Asin2Acos2A+23 23 23=sin（2A30）+.323当 2A=120，即 A=60时，Smax=.2338.在ABC 中，BC=a，顶点 A 在平行于 BC 且与 BC 相距为 a的直线上滑动，求的取值范围.ACAB解：令 AB=kx，AC=x（k0，x0） ，则总有sinB=，sinC= （图略） ，且由
