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1、如何利用空间向量处理立体几何中的角与距离问题如何利用空间向量处理立体几何中的角与距离问题向量，既是高中数学新课程的一个重要标志，又极大地丰富和发展了中学数学的知 识结构体系，进一步拓展了中学数学问题解决的思维空间. 由于融形、数于一体，具有几 何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多种 内容的媒介.用向量知识解决立体几何中的平行,垂直,距离,夹角等问题，常常比用几何法 简便. 空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，解探究开放式问题路子更阔. 这是因 为几何问题代数化后,简单的代数运算取代了复杂的几何证明，解题思路方向明确，不必为 如何解（证）而煞费苦心.
2、因此，正确理解和掌握用向量方法求角与距离的问题,对高考备 考有重要意义.利用向量解立体几何中垂直、夹角、距离等问题，其基本方法是：把有关线 段与相应的向量联系起来，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算进行计算或证 明. 具体地说，有以下两种基本方法.基向量法基向量法 由于空间中任何向量均可由不共面的三个 基向量来线性表示，因此在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把有关线段 根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来. 再通过向量的代数运算，达到计算或 证明的目的. 一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量.在高考的立体几 何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统
3、的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形” ,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新 思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题1求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角（）求异面直线所成的角设 、 分别为异面直线 a、b 的方向向量,arbr则两异面直线所成的角=arccos|a b a br rgrr（）求线面角设 是斜线 l 的方向向量， 是平面的lrnr法向量，则斜线 l 与平面所成的角=arcsin | |l n lnr rgrr（）求二面角 法一、在内，在内，其方向如图，arlbrl则二面
4、角的平面角=l arccos|a b a br rgrr法二、设是二面角12,n nu r u u r的两l 个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角=l 1212arccos|n n nnu r u u rgu ru u r2求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求（）求点面距离法一、设 是平面的法向量，在内nr取一点 B, 则 A到的距离|cos|AB ndABnuuu r ruuu rgr法二、设于 O,利用和点AOAOO 在内 的向量表示，可确定点 O 的位置，
5、从而求出|AOuuu r（）求异面直线的距离法一、找平面使且，则异面直baP线 a、b 的距离就转化为直线 a 到平面的距离，又转化为点 A 到平面的距离法二、在 a 上取一点 A, 在 b 上取一点 B, 设 、 分别为异面直线 a、b 的方向向量,求（，） ，则arbrnrnrarnrbr异面直线 a、b 的距离（此方法移植于点面距离|cos|AB ndABnuuu r ruuu rgr的求法） 例如图，在棱长为的正方体中，E、F 分别是棱1111ABCDABC D的中点 1111,AD AB（）求异面直线所成的角；1DEFC与（II）求和面 EFBD 所成的角；1BC（III）求到面 E
6、FBD 的距离1B解：（）记异面直线所成的角为，1DEFC与则等于向量的夹角或其补角，1DEFCuuu ruuu u r与（II）如图建立空间坐标系，Dxyz则，(1,0,2)DE uuu r(2,2,0)DB uuu r设面的法向量为 由EFBD( , ,1)nx yr00DE nDB nuuu r ruuu r r得 又 ( 2,2,1)n r1( 2,0,2)BC uuu u r记和面 EFBD 所成的角为1BC则 1 1 12sin|cos,| |2|BCnBC nBCn uuu u r ruuu u r ruuu u rr 和面 EFBD 所成的角为1BC4（III）点到面 EFBD
7、 的距离等于1B向量在面 EFBD 的法向量上的投影的绝对值，1BBuuu r1| |BB ndnuuu r u u rguur1 3设计说明：作为本专题的例，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线11| |111111cos|() ()| |222|,arccos555 5DE FCDEFCDDD EFBBC DEFCu u u r u u u u rgu u u ru u u u rguuuu ruuu u ruuu
8、 ruuuu rguuu ruuu u rg的作法不作要求） 完成这道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况） ，都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧例 2如图，三棱柱中，已知 A BCD 是边长为 1 的正方形，四边形是矩形，BBAA。平面平面ABCDBBAA（）若，求直线 AB 到面的距离AA DAC（II） 试问：当的长度为多少时，二面角AA 的大小为 ACAD？o60解：（）如图建立空间坐标系，Axyz则 ( 1,1, )DAa uuu r (0,1,0)DC uuu r设面的法向量为 则 DAC1(
9、 , ,1)nx yu r 1100DA nDC nuuu ru ruuu r u r得 1( ,0,1)nau r直线 AB 到面的距离就等于点到面的距离，DACDAC也等于向量在面的法向量上的投影的绝对值，ADuuu rDAC11|2 2|AD ndnuuu r u rgu r（II）易得面的法向量AAC211( ,0)22n u u r向量的夹角为12,n nu r u u r60o由 得 12 12 2121 12cos,2|212annn nnna u r u u ru r u u ru ru u r1a 当时，二面角的大小为 AA ACAD60o设计说明：通过（） ，复习线面距离转
10、化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法通过（II） ，复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况例正三棱柱的所有棱长均为，是侧棱上任意一111ABCABC1AA点（）求证： 直线不可能与平面垂直；1B P11ACC A（II）当时，求二面角的大11BCB P11CB PC小 证明：（）如图建立空间坐标系，设OxyzAPa则的坐标分别为1, ,A C B P(0, 1,0),(0,1,0),( 3,0,2)(0, 1, )a1(0,2,0),(3, 1,2)ACB Pa uuu ruuu r，不垂直120
11、AC B P uuu r uuu rg1B PAC直线不可能与平面垂直1B P11ACC A（II），由，得1(3,1,2)BC uuu u r11BCB P110BC B P uuu u r uuu rg即 22(2)0a1a又 11BCBC11BCCB P 面是面的法向量1(3,1,2)BC uuu u r1CB P设面的法向量为，由11C B P(1, , )ny zr11100B P nBCnuuu r ruuuu r r得,设二面角的大小为(1, 3, 2 3)n r11CB PC则116cos4|BC n BCnuuu u r rguuuu u r u u r二面角的大小为11CB
12、 PC6arccos4设计说明：前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题、轴需要自己添加（也可不这样建立） 第（）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直线与这个面的法向量不平行通过上面的例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式： ）解决空间角和距离的作用，当然，以上所举例子，用|cosa ba br rrrg传统方法去做，也是可行的，甚至有的（例）还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和随机性向量法可操作性强运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难点，是解决立体几何问题的重要工具充分体现出新教材新思想、新方法的优越性这是继解析几何后用又一次用代数的方法研究几何形体的一块好内容，数形结合，在这里得到淋漓尽致地体现
