概率论的一些应用

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1、数学之美 2007 年 4 月总第 2 期 - 1 -数学的应用 概率论的一些应用 梁博 (数学院 计算数学专业 0410144) 概率论是一门与现实生活紧密相连的学科， 不过大多数人对这门学科的理解还是很平凡的：投一枚硬币，0.5 的概率正面朝上，0.5 的概率反面朝上，这就是概率论嘛。学过概率论的人又多以为这门课较为理论化，特别是像母函数，极限定理等内容与现实脱节很大，专业性很强。 其实如果我们用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析，常常会得到深刻的结果。 在谈及应用之前， 先澄清一下多数人在概率方面的一个误解。 大部分人认为一件事概率为 0 即为不可能事件。这是不对

2、的，比如甲乙玩一个游戏，甲随机地写出一个大于 0 小于 1的数，乙来猜。乙一次猜中这个数乙每秒猜一次，一直猜下去， “最终”猜中这个数。这两件事发生的概率都是 0，但显然它们都有可能发生，甚至可以“直观”的讲发生的可能性大些。这说明概率为 0 的事也是有可能发生的。不过在我看来，这样的可能性实在是太小了，在实际的操作中认为不可能也是有道理的，但不管怎么说，它们确是可能事件。 来看一个赌博的例子。在我国南方流行一种称为“捉水鸡”的押宝，其规则如下：由庄家摸出一只棋子，放在密闭的盒中，这只棋子可以是红的或黑的将、士、象、车，马、炮之一。赌客们把钱押在一块写有上述 12 个字（6 个红字、6 个黑字

3、）的台面的某个字上。押定后，庄家揭开盒子露出原来的棋子。凡押中者（字和颜色都对）以 1 比 10 得到赏金，不中者其押金归庄家通过简单计算便知，当一个赌徒押上 1 元之后，其期望所得（即平均所得）为元，也就是说，其净收益的期望为元。因此这是不公平的赌博。当然了，多数赌徒即使不懂概率论，也应该明白自己参与的是不公平赌博，不过他们由于的侥幸心理，抱着寻求刺激的想法，还是会义无反顾地参与进去。但由概率论的原理我们知道，长期负期望的累积，其结果必然为负，也就是说，长期的赌博，结果必然会输，那种“万一运气好”的侥幸心理是不科学的。所以说，我们不仅从社会要求上不应参与赌博，从结果上看，我们也不应赌博。 再

4、看一个应用：在 12 只金属球中，混有一只假球，并且不知道它是比真球重或轻，用没有砝码的天平来称这些球， 试问至少需要多少次称量才能找出这个假球， 并确定它是比真球轻或重为了讲清概率论在这个问题中的应用，先讲一下熵的概念。熵是概率论的分支学科-信息论中的概念，它是一个实验不确定程度的量度，熵越大，说明该实验的不确定性越高。比方说，扔一枚硬币是一个实验，扔一枚色子也是一个实验，直观地讲，我们说前者的不确定性要小些；计算结果，前者的熵为后者的熵为,与直观吻合。同样，判断 12个球的真假和轻重也是一个实验，它的熵为，我们要在若干次称量后将其不确定性降为数学之美 2007 年 4 月总第 2 期 -

5、2 -0，也就是要其熵降为 0。每用天平称量一次（随便怎样称） ，天平都有 3 种结果，于是最多获得的信息，所以 次称量最多可得也就是的信息。令 得，至少进行 3 次实验才能完成要求。当然，这是理论上最少的结果，我们还要找到一个现实可行的方案，实际上，这样的方案也是有的，所以说得到的解是正确的结果。这种方法将看似是智力测验的题目用数学方法解决了。 其实用这种方法还可解决 4 次使用天平， 能判断最多多少个球的真假轻重情况的问题。关于这点，可以这样考虑：第一次称量时，所有的球只有两种可能：要么在天平上，要么没有在天平上，且在天平上的球数须是偶数，否则进行的称量是得不到有用的信息的。设在天平上的球

6、数为，不在天平上的球数为 ，若天平平衡， 下面要 3 次使用天平在 个球中找到假球并判其轻重， 由前面的结果知 的最大值为12；若天平不平，不妨设其左倾，则假球在个球中，且其轻重已知（若假球是左盘上的一只则假球比真球重，否则比真球轻） 。判断这个球中哪个球为假球（轻重已判）的实验的熵为,令,得 的最大值是 13，于是 4 次使用天平，最多可判断 38 枚球的真假及轻重情况，具体办法也是有的，由于比较繁琐，这里就不列举了。实际上，把这种方法通过观察、归纳、总结，可得更一般的结论： 次使用天平至多能判断个球的真假和轻重状况。这也说明数学的威力所在：它可以将某些东西系统化，得到更一般的结论。 说了这

7、么多，其实就是一个意思，课本上学习的是理论，我们还要尽可能与实际生活联系起来，不要把数学学死了，总之一句话，我们学习数学，是为了更好的认识世界。数学文化，也就是数学在生活中的反映吧。 参考文献 1李贤平，概率论基础（第二版） ，高等教育出版社。 数学之美 2007 年 4 月总第 2 期 - 3 -数学与彩票 闫楠 （数学学院 数学与应用数学 0510114） 我们经常听到这样的消息“市中出 500 万大奖” 。现在，购买彩票渐渐成为普通老百姓经济生活的重要组成部分， 许多人都梦想可以一夜暴富， 而彩票就提供了这种梦想实现的舞台。彩票与数学有着天然的联系，尤其与数学的一个分支概率密不可分。而概

8、率学本身就来源于古代博彩游戏。看来，彩票的出现也促进了数学的发展。 英国不列颠百科全书解释彩票为“通过抽签摇奖，凭机会在一定范围内的人们中分配奖品或奖金” 。当今世界共有 110 多个国家在发行彩票，按特征分类主要有传统型彩票，即开型彩票， 乐统型彩票和透透型彩票。 前两者为被动型的， 传统型事先在彩票上印好顺序号码，不能有彩民自己选择号码，彩票销售结束后由发行部门摇奖，这种彩票简单明了，不需研究概率对策， 全凭运气。即开型，顾名思义， “即开即兑彩票” 。本文不讨论这两种被动型彩票，主要讨论其余三者主动型彩票与数学的关系。 各种彩票对自己的当期设奖金额， 调节基金都有规定。 设奖金额包括当期

9、金额和调节基金。奖金调节基金用于浮动奖奖金保底、派发特别奖、支付各种不可预见情况下的奖金支出等。有的彩票只有固定奖，有的彩票奖金分为固定奖和浮动奖。固定奖按固定金额兑付，一般被称为是低等奖；浮动奖按确定的比例分配，这样的等级一般称为高等奖。当期奖金总额减去奖金调节基金和固定奖总额后剩余部分，构成浮动奖“彩池“，并确定浮动奖分配比例。奖池由上期未中出的浮动奖奖金和超出一等奖单注封顶限额部分的奖金组成。 奖池与当期奖金中用于一等奖的部分及调节基金转入部分合并为一等奖奖金。 也就是说， 奖池只与一等奖有关。 接下来本文从三个方面来研究彩票与数学的关系。 1 彩票的玩法介绍及概率 现在全国范围内发行的

10、彩票分为中国福利彩票和中国体育彩票两种。 全国范围内发行的中国福利彩票主要有双色球，七乐彩，3D。体彩有七星彩，排列三，排列五，足彩胜负，半全场/进球，篮球彩票，22 选 5。彩票概率的计算基本上是古典概率的计算。 乐透型彩票 乐透型彩票主要特征为 第一、 投注者在 m 个数中选出 n 个数码，奖金依所选号码猜中多少，不论顺序如何，自成等级。由于乐透彩票中奖号码不排序，是一种组合式游戏，所以又称为组合式玩法的彩票。 第二、 往往采用一个从 r 个数中选取一个附加号码， 用于二等奖以下的奖级， 作用是调整奖级结构，提高中奖比例。 双色球，七乐彩，22 选 5 都是乐透型彩票。具体设置如下表： 数

11、学之美 2007 年 4 月总第 2 期 - 4 -双色球 七乐彩 22 选 5 m 33 30 22 n 6 7 5 r 16 1 0 1、双色球中奖条件为 中奖条件 奖级 红色球号码 蓝色球号码 说明 一等奖 选 6+1 中 6+1 二等奖 选 6+1 中 6+0 三等奖 选 6+1 中 5+1 四等奖 选 6+1 中 5+0 或中 4+1 五等奖 选 6+1 中 4+0 或中 3+1 六等奖 选 6+1中 2+1 或中 1+1或中 0+1 注：一等奖二等奖被称为是高等奖，奖金是浮动的。一等奖奖金为当期高等奖奖金的70%和奖池中累积的奖金之和。二等奖奖金为当期高等奖奖金的 30%。二等奖以

12、下的奖是低等奖，奖金是固定的金额的。三、四、五、六等奖的奖金依次为 3000、200、10、5. 因此，可计算得各等奖的概率是 等级 概率计算的算式 P 一 1 166 331 C5.643810 二 1/6 33C 9.029710 三 1 1651 627 6 33C C C9.142610 四 5 6 6 33C C+42 627 6 33C C C1 164.434410 五 42 627 6 33C C C+33 627 6 33C C C1 168.055310 六 （24 627 6 33C C C+15 627 6 33C C C+06 627 6 33C C C）1 165.

13、889210 数学之美 2007 年 4 月总第 2 期 - 5 -将所有概率之和相加， 可得中奖总概率为 6.740210。 高等奖中奖概率为 9.59710。 2、七乐彩相关信息为 等级 中奖条件 奖金数额 概率计算式子 概率 一等奖 中 7 个基本号码完全相同（顺序不限，下同） 奖金总额为当期高奖等奖金的 70% 7 301 C4.91710 二等奖 中任意 6 个基本号码及特别号码 奖金总额为当期高奖等奖金的 10% 6 7 7 30C C3.44610 三等奖 中任意 6 个基本号码 奖金总额为当期高奖等奖金的 20% 61 722 7 30C C C7.56510 四等奖 中任意

14、5 个基本号码及特别号码 200 元 51 722 7 30C C C2.27410 五等奖 中任意 5 个基本号码 50 元 52 722 7 30C C C2.38310 六等奖 中任意 4 个基本号码及特别号码 10 元 42 722 7 30C C C3.97310 七等奖 中任意 4 个基本号码 5 元 43 722 7 30C C C2.65210 中奖总概率为 3.31210 3、22 选 5 22 选 5 相关信息为 等级 中奖条件 奖金数额 概率计算式子 概率 一等奖 选中 5 个中奖号码； 期奖金额减去固定奖总额后的 100% 5 221 C3.80510 二等奖 选中其中

15、 4个中奖号码 50 元 41 517 5 22C C C3.23310 三等奖 选中其中 3个中奖号码 5 元 32 517 5 22C C C5.16210 总概率为 5.49210 数学之美 2007 年 4 月总第 2 期 - 6 - 数字型彩票 七星彩，排列三，排列五，3D 都是数字型彩票。 数字型彩票是每个号码是一个 n 位数， 每个数字从 0-9 中选出。 上面四种玩法的位数分别对应各自叫法的数字，七星彩对应 7 个数字，排列三与 3D 对应三个数字，排列五对应五个数字。且排列三与 3D 玩法完全一样，但前者是体彩的，后者是福彩的。 1、排列三（3D） 排列三的每一期的摇出的一个号码对应了三种不同的小玩法及兑奖方式，分别为“直选投注“、“组选 3“、“组选 6“，每种小玩法均设一个奖级，为固定奖。“直选投注“，单注固定奖金 1000 元。 “