椭圆经典例题

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1、1椭圆标准方程典型例题椭圆标准方程典型例题例例 1 已知椭圆已知椭圆的一个焦点为（的一个焦点为（0，2）求）求的值的值06322mymxm分析：分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值2c222cbam解：解：方程变形为因为焦点在轴上，所以，解得12622 myxy62m3m又，所以，适合故2c2262m5m5m例例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点已知椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程，求椭圆的标准方程03，Pba3分析：分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程ab2a2b解：解：当

2、焦点在轴上时，设其方程为x012222 baby ax由椭圆过点，知又，代入得，故椭圆的方程为03，P10922baba312b92a1922 yx当焦点在轴上时，设其方程为y012222 babx ay由椭圆过点，知又，联立解得，故椭圆的方程为03，P10922baba3812a92b198122 xy例例 3 的底边的底边，和和两边上中线长之和为两边上中线长之和为 30，求此三角形重心，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹和顶点的轨的轨ABC16BCACABGA 迹迹分析：分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解20 GBGC（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程GGAA2解

3、：解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系设点坐标为，由BCxBCGyx，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点因，有，20 GBGCGBC10a8c6b故其方程为013610022 yyx（2）设，则 yxA ，yxG，013610022 yyx由题意有代入，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点） 33 yyxx， A0132490022 yyxx例例 4 已知已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为到两焦点的距离分别为和和，过，过点作焦点所在点作焦点所在PP354 352P轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程

4、轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：解：设两焦点为、，且，从椭圆定义1F2F3541PF3522PF知即52221PFPFa5a从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，21PFPF 2PF12FPFRt21sin12 21PFPFFPF可求出，从而621FPF352 6cos21PFc310222cab所求椭圆方程为或1103 522 yx1510322 yx例例 5 已知椭圆方程已知椭圆方程，长轴端点为，长轴端点为，焦点为，焦点为，是椭圆上一点，是椭圆上一点，012222 baby ax1A2A1F2FP，求：求：的面积（用的面积（用、表示）表示） 21PAA21PFF21PFFab

5、3分析：分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积CabSsin21解：解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限由余弦yxP，yxP，P定理知： 2 21FF2 22 1PFPF12PF2 24coscPF由椭圆定义知： ，则得 aPFPF2212cos12221bPFPF故 sin212121PFPFSPFFsincos12 212b 2tan2b例例 6 已知动圆已知动圆过定点过定点，且在定圆，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方的轨迹方P03，A64322yxB：P程程 分析：分析：关键是根据题意，列出点

6、 P 满足的关系式 解：解：如图所示，设动圆和定圆内切于点动点到两定点，PBMP即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，03，A03，B即点的轨迹是以，为两焦点，8BMPBPMPBPAPAB半长轴为 4，半短轴长为的椭圆的方程：73422b171622 yx说明：说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方 程的一种重要思想方法例例 7 已知椭圆已知椭圆， （1）求过点）求过点且被且被平分的弦所在直线的方程；平分的弦所在直线的方程；1222 yx 21 21，PP（2）求斜率为）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；的平行弦的中点轨迹方程；（

7、3）过）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； 12，A（4）椭圆上有两点）椭圆上有两点、，为原点，且有直线为原点，且有直线、斜率满足斜率满足，PQOOPOQ21OQOPkk求线段求线段中点中点的轨迹方程的轨迹方程 PQM4分析：分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：解：设弦两端点分别为，线段的中点，则11yxM，22yxN，MNyxR，yyyxxxyxyx22222221212 22 22 12 1得0221212121yyyyxxxx由题意知，则上式两端同除以，有21xx 21xx ， 022121 2121xxyyy

8、yxx将代入得022121xxyyyx（1）将，代入，得，故所求直线方程为： 21x21y212121 xxyy0342 yx将代入椭圆方程得，符合题意，为所2222 yx041662 yy04164360342 yx求（2）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）22121 xxyy04 yx（3）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）212121 xy xxyy022222yxyx（4）由得 ： ， ， 将平方并整理得222 22 12 22 1yyxx， ， ， 2122 22 124xxxxx2122 22 124yyyyy将代入得： ， 224424212212 yyyxxx再将代

9、入式得： ， 即 212121xxyy221242212 212 xxyxxx1212 2yx此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例例 8 已知椭圆已知椭圆及直线及直线1422 yxmxy（1）当）当为何值时，直线与椭圆有公共点？为何值时，直线与椭圆有公共点？m5（2）若直线被椭圆截得的弦长为）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程，求直线的方程5102解：解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，mxy1422 yx1422mxx即，解得012522mmxx020161542222mmm25 25m（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，由（1）得，1x2x522

10、1mxx51221mxx根据弦长公式得 ：解得方程为5102 514521122 2 mm0mxy 说明：说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系） ，可大大简化运算过程例例 9 以椭圆以椭圆的焦点为焦点，过直线的焦点为焦点，过直线上一点上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，131222 yx09 yxl：M点点应在何处？并求出此时的椭圆方程应在何处？并求出此时的椭圆方程M分析：分析：椭圆的

11、焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的 两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决解：解：如图所示，椭圆的焦点为，131222 yx031，F032，F点关于直线的对称点的坐标为（9，6） ，直线的方程为1F09 yxl：F2FF032 yx解方程组得交点的坐标为（5，4） 此时最小 09032 yxyxM21MFMF 6所求椭圆的长轴：，又，562221FFMFMFa53a3c因此，所求椭圆的方程为 3635322222cab1364522 yx例例 10已知方程已知方程表示椭圆，求表示椭圆，求的取值范围的取值范围13522 ky

12、kxk解：解：由得，且 ,35, 03, 05kkkk53 k4k满足条件的的取值范围是，且k53 k4k说明：说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是 , 03, 05 kk53 kk53 k出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆0 baba 例例 11已知已知表示焦点在表示焦点在轴上的椭圆，求轴上的椭圆，求的取值范围的取值范围1cossin22yx)0(y分析：分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出的取值范围解：解：方程可化为因为焦点在轴上，所以1cos1 sin122 yxy0sin1 cos1因此且从而0sin1tan)4

13、3,2(说明：说明：(1)由椭圆的标准方程知，这是容易忽视的地方0sin10cos1(2)由焦点在轴上，知， (3)求的取值范围时，应注意题目中的条ycos12asin12b件0例例 12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和和两点的椭圆方程两点的椭圆方程)2,3(A) 1,32(B7分析：分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程122nymx0m0n解：解：设所求椭圆方程为(，)由和两点在椭圆上可得122nymx0m0n)2,3(A) 1,32(B即所以，故所求的椭圆方程为 , 11)32(, 1)2()3(2222nmnm , 112, 143 nmnm151m51n151522 yx例例 13 知圆知圆，从这个圆上任意一点，从这个圆上任意一点向向轴作垂线段，求线段中点轴作垂线段，求线段中点的轨迹的轨迹122 yxPyM分析：分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹解：解：设点的坐标为，点的坐标为，则，M),(yxP),(00yx20xx 0yy 因为在圆上，所以),(00yxP122 yx12 02