一元二次方程整数根初探

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1、 0 专题学习专题学习 一元二次方程整数根初探一元二次方程整数根初探一元二次方程的整数解问题将整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，它不仅涉及到二 次方程的相关理论，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有关知识，具有较强 的综合性和技巧性，因此成为思维训练的热点.重难点：1、能够根据方程结构特点，选择适当的解题方法；2、体会解题过程中所蕴含的转化等思维方法，通过一题多解等训练思维的灵活性。循着从特殊到一般的路线，我们从具体问题中来探究这一类问题的基本解法.1、当、当为指定变量（参数）的完全平方式或完全平方数时，可利用十字相乘法进行为指定变量（参数）的完全平方式或完全平方数时，可利用

2、十字相乘法进行acb42因式分解或利用求根公式，先求出方程的两个根，再利用整除性质求参数值因式分解或利用求根公式，先求出方程的两个根，再利用整除性质求参数值.例例1 已知关于的一元二次方程 的根均为整数，求整数a的值.x03) 13 (2xaax解法一：解法一：0)3)(1(xaxaxxa1, 3021Q原方程的根为整数 为整数Qa111 或a所以，当时，原方程根为整数.11 或a解法二解法二：0) 13(12) 13(22aaaQ原方程有两个实数根 aaax2) 13() 13(即aaaax1 2) 13(1313213132aaax以下同解法一.总结：原方程的两根可以先求出（用a表示），然

3、后利用整除的性质，确定出所有的a的可能值.练习1已知关于x的方程022) 13() 1(2kxkxk（1）讨论此方程根的情况； （2）若方程有两个整数根，求正整数的值.k系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次一次方程，根据问题 的题设条件，看是否要分类讨论（参考答案：1或3）2. 当当不是完全平方式或完全平方数时不是完全平方式或完全平方数时acb42（1）当）当为关于参数的二次式且可写成一个完全平方式与一个数和差的形式，令为关于参数的二次式且可写成一个完全平方式与一个数和差的形式，令acb42，分解因式将其化为，分解因式将其化为“整式整式整式整式=整数整数”的形式，利

4、用整除性质分析求解的形式，利用整除性质分析求解.2n例例2 当为何整数时,关于的方程的两根都是整数?mx2(1)10xmxm 解法一：解法一： 12)3(3622mmm由求根公式得212)3() 1(2mmx要使是整数，则为完全平方数，设（为整数，为正整数）x12)3(2m2212)3(nmmn所以，于是12)3(22nm12)3)(3(nmnm)3(233mnmnm奇偶性相同nmnm33与 6323,2363nmnmnmnm解得71,42mm nn 当时，原方程解为；7m 124,2xx当时，原方程解为.1m 120,2xx 所以或时，原方程的根为整数.7m 1m 总结：此题的关键在于设根的

5、判别式为（为正整数），然后利用因式分解2nn 求解不定方程，列举出所有的可能的因数积，从而求出的值.m 解法二：解法二： 设方程的两整数根分别是x ，x （），由韦达定理得1221xx 121xxm L121xxm L由得 12212x xxx12(1)(1)31 31 ( 3)xx 则有 或121311xx 121113xx 解得： 或1242xx 1202xx 由此或0，分别代入，得或128xx7m 1m 所以，当时，原方程根为整数.17 或m练习2已知关于的一元二次方程x220xmxm （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根.1（2）若是整数并且原方程的根是整数，求的值.（参考答案：m

6、=2）mm（2）当）当为关于参数的一次式，令为关于参数的一次式，令，由此求出参数后代入原方程，由此求出参数后代入原方程，acb4222) 12(nn 或先求出两根，再求参数先求出两根，再求参数.例例3. 已知为整数，方程有非负整数根，试求a22(21)0xaxa)( ,2121xxxx的值.21xx 解法一解法一 ：144) 12(22aaaQ要使是整数，则为完全平方数x14 a为奇数，可设14 , 0aa)0() 12(142nna，代入求根公式得) 1(41) 12(2 nnna2) 12() 1) 1(2( 2) 12() 12(nnnnax化简得 2 22 1,1nxnx）（原式=.1

7、) 1() 1(22nnnn解法二解法二：2 2121, 12axxaxx21212 212)(xxxxxx1212aaQ021 xx021xx所以原式=1通过上例可以看出，解这类题的方法是：第一步，设判别式（非完全平方式部分）为，2n 使判别式化为一个完全平方的形式；第二步，用上步所设的字母表示方程中的字母，代入原方 程，求出方程的解；第三步，由整除的性质，求出字母的可能取值，并检验.练习3. 关于的方程至少有一个整数解，求整数的值.x22(3)20axaxaa（参考答案：2、-4、-10） 4. 利用一元二次方程根与系数关系求解利用一元二次方程根与系数关系求解 当判别式为较为复杂时，利用韦

8、达定理所得的两个式子，若能较方便地消去参数，得到关当判别式为较为复杂时，利用韦达定理所得的两个式子，若能较方便地消去参数，得到关 于方程两根的不定方程，则分解因式将其化为于方程两根的不定方程，则分解因式将其化为“整式整式整式整式=整数整数”的形式，利用整数性质分析的形式，利用整数性质分析 求解求解. 例例4 关于的方程的根都是整数，求满足条件的值 x01) 1(2kxkkxk解解：当时，原方程可化为，解得0k01x1x 当时，设此方程的两个整数根分别为（），由韦达定理得0k21,xx21xx kkkxxkkkxx1111112121（因为为实数，此时不能得出）k1k消去得 k22121xxxx

9、 3) 1)(1(21xx则 3111 11312121 xx xx，解得 20 242121 xx xx，262121xxxx或即211611kk或解得，经检验知就是所求的有理数171kk或171kk或故满足条件的值为k. 1 ,710,总结：本题中的是有理数，其取值不好确定，所以通过转化为讨论整数积的问k题.练习4. 试确定一切有理数r，使得关于的方程 有根且只有x01)2(2rxrrx整数根 （参考答案：）1 31rr或通过以上例题和练习，我们知道一元二次方程整数解问题一种朴素的方法是求 根的表达式，根据判别式是否为完全平方式相应地采取直接求根及引入新的字母表 示方程根. 当我们把字母的

10、取值代入方程后，会发现这些方程依次是： 例1. 03203422xxxx； 例2. 0208622xxxx； 练习1. 048402222xxxx； 练习2. 022 xx 都是较简单的整系数一元二次方程，字母的引入丰富了算术的内容，使我们摆 脱了用具体数字研究问题的局限，提供了揭示数量关系一般性的可能，帮助我们探 索事物的内在联系，意大利数学家斐波那契说“代数是数学中的花朵”，作为初等 代数的一个中心问题，方程被誉为代数的花朵，今天我们又再次窥见了方程的魅力， 但旅途才刚刚开始-2 课堂练习参考答案课堂练习参考答案练习练习1 已知关于x的方程（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2=0（1）

11、讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值解：（1）当时，方程=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；1k 44x当时，方程=0是一元二次方程，1k 2(1)(31)22kxkxk=（3k1）24(k+1)(2k2)=（k3）2（k3）20，即0， k为除-1外的任意实数时，此方程总有两个实数根 综上，无论k取任意实数，方程总有实数根（2），x1=1，x2=1 3(3) 2(1)kkxk421k 方程的两个根是整数根，且k为正整数， 当k=1时，方程的两根为-1，0；当k=3时，方程的两根为-1，-1 k=1，3 注：方程的根也可由因式分解得到 022) 1)(1(kxkx练

12、习练习2已知关于的一元二次方程x220xmxm （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）若 m 是整数并且原方程的根是整数，求 m 的值.解：（1）证明：24(2)mm 248mm2444mm2(2)4m 2(2)0m2(2)40m此方程总有两个不相等的实数根.（2）由求根公式得：2(2)4 2mmx要使x是整数，则应是完全平方数，设(为整数)2(2)4m22(2)4mkk由变形得：22(2)4mk22(2)4km分解因式得：(2)(2)4kmkm k，m均为整数 和是整数且奇偶性相同2km2km ，22 22km km 22 22km km 解得：，2 2k m 2 2k m 此时

13、原方程的解为：，符合题意2m 10x 22x 所以 . 2m 注：此题也可由根与系数关系解关于的不定方程得到.x练习练习3. 关于的方程至少有一个整数解，求整数的值.x22(3)20axaxaa解：当a0时，已知方程为，无整数解；026x当时，要使方程至少有一个整数解，0a它的判别式必须为完全平方数，从而为完全平方数.)2(4)3(42aaa)49(4aa49设(n为正奇数，且)，则，代入原方程，解得 249na3n492na22, 19)3(4122)3(2 nn anax所以 nxnx34134121，若为整数，由n为正奇数知，只能n1，则a2；1x若为整数，n只能为1、5、7，则a2、4

14、、10.2x综上所述a的值为2、4、10.（本题利用根与系数关系能得到的是a=2）练习练习4 4. 试确定一切有理数r，使得关于x的方程 有根且只有整数根.2rx01)2(rxr解：若r0时，则方程为.解得，不是整数.012x21x若，设方程的两个整数根为（），则由韦达定理，得0r21xx，21xx ； 于是rrxxrrxx122121，71)(222121xxxx所以7) 12)(12(21xx因为都是整数，且，故有21xx，21xx 03411127127121122121212xxxxxxxx或解得或3所以， 得0 4121或xxrr1r 31或r经检验知就是所求的一切有理数.1r 31或r课后练习（课后练习（以下同组题目任选其一即可） 题组一题组一1. 已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的