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1、微积分讲稿 谢锡麟高维微分学向量值映照的极限复旦力学谢锡麟2016 年 3 月 15 日1知识要素1.1lim xx0Rmf(x) = y0 Rn的意义定义 1.1 (向量值映照极限). 向量值映照极限为向量值映照的一种局部行为, 记为 lim xx0Rmf(x) =y0 Rn, 可按以下二种叙述理解 Cauchy 叙述 0, 0,满足：|f(x) y0|Rn 0, 0, 成立f(x) B(y0), x B(x0) Dx.由 xp x0 Rm, 即N N, 成立xpB(x0) Dx, p N,故有 f(xp) B(y0), p N, 亦即 f(xp) y0 Rn.(2)证明由 Heine 叙述
2、得出 Cauchy 叙述. 利用反证法, 假设 Cauchy 叙述不成立, 即有 0, 0, xB(x0) Dx满足f(x) / B(y0),取 p=1 p, 则 xpBp(x0) Dx满足f(xp) / B(y0). 现有 Dxx0 xp x0 Rm, 按Heine 叙述有 f(xp) y0 Rn, 故产生矛盾.1微积分讲稿 谢锡麟高维微分学向量值映照的极限谢锡麟定理 1.2 (映照极限的 Cauchy 收敛原理). 已有 (Rn,| |Rn) 为完备的赋范线性空间, 则有lim xx0Rmf(x) = y0 Rn等价于 0, 0,满足 |f( x) f( x)|Rn 0, 0, 成立|f(
3、x) y0|Rn 0, 0 成立 |f(e x) f(b x)|Rn N,故有|f(xp) f(xq)|Rn N,亦即 f(xp)pN Rn为基本点列. 再由 (Rn,|Rn) 为完备的赋范线性空间, 因此 f(xp)pNRn收敛. 再考虑e xp Dfx0, e xp x0 Rm有f(e xp) e y0 Rn,b xp Dfx0, b xp x0 Rm有f(b xp) b y0 Rn,需证 e y0= b y0 Rn. 就此作xp=e x2k,p = 2k,b x2k1,p = 2k 1,有 xp Dfx0, 满足 xp x0 Rm. 故有 f(xp) y0 Rn. 由于收敛点列的所有子列
4、均收敛且极限相同以及点列极限存在的唯一性, 故有 e y0= b y0= y0. 按映照极限的 Heine 叙述, 即有 lim xx0Rmf(x) = y0 Rn.定义 1.2 (向量值映照的连续性). 如果 lim xx0Rmf(x) = f(x0) Rn, 则称 f(x0) 在x0 Df点连续.1.2向量值映照极限的分析性质性质 1.3 (基本分析性质). 类比于一元函数极限, 向量值映照极限亦具有如下基本性质.2微积分讲稿 谢锡麟高维微分学向量值映照的极限谢锡麟1. 极限存在唯一性如有 lim xx0Rmf(x) = y0 Rnlim xx0Rmf(x) = z0 Rn,则有y0= z
5、0.2. 局部有界性如果 lim xx0Rmf(x) = y0 Rn, 则有M, M R+, s.t.|f(x)|Rm M,x BM(x0) Df3. 多元函数极限的保号性保号性具有二个方面: (1) 如果 lim xx0Rmf(x) 0, 则 R+,有 f(x) 0, x B(x0) Df; (2) 如有 lim xx0Rmf(x) R, 以及 R+, 有f(x) (或 )0, x B(x0) Df, 则有 lim xx0Rmf(x) 0.4. 多元函数极限的夹逼性设多元函数 (x), (x) 和 (x) 具有共同的定义域 Dx Rm,如有 lim xx0Rm(x) =lim xx0Rm(x
6、) = y0 R夹逼性条件(x) (x) (x),x B(x0) Dx,则有 lim xx0Rm(x) = y0.定理 1.4 (复合映照极限定理). 如有 lim xx0Rm(x) = y0 Rn,lim yy0Rn(y) = z0 Rl,且满足 “非接触性条件”: 0, 有(B(x0) D) Dy0,则有1. 存在局部复合, 即有 (x) :B(x0) D x 7 (x) (x);2. lim xx0Rm (x) = z0=lim yy0Rn(y) Rl.证明 (1)按非接触性条件 (B(x0) D) Dy0, 显然成立.(2)利用 Heine 叙述, 考虑 xp B(x0) D, xp
7、x0 Rm.由 lim xx0Rm(x) = y0 Rn的 Heine 叙述, 以及非接触性条件, 有Dy0 (xp) y0 Rn. “非接触性” 指, 当 x = x0 Rm, 有 (x) = y0 Rn.3微积分讲稿 谢锡麟高维微分学向量值映照的极限谢锡麟又由 lim yy0Rn(y) = z0 Rl的 Heine 叙述, 有(xp) = (xp) z0 Rl.综上, 有 lim xx0Rm (x) = z0 Rl.需指出, 按连续性的 Heine 叙述, 如有lim yy0Rn(y) = (y0) Rl,则上述定理中 “非接触性条件” 可改为 “可接触性条件” 0, 有(B(x0) D)
8、 D.1.3向量值映照极限的计算性质 1.5 (存在向量值映照极限等价于存在各分量极限).lim xx0Rmf(x) = y0 Rnlim xx0Rmf(x) = y0 R证明 仅需到基本关系式?aj bj?6 |a b|Rm6mi=1?ai bi?,j = 1, ,m.本性质表明, 计算向量值映照的极限可以归结为计算其分量 (多元函数) 的极限.性质 1.6 (多元函数极限的四则运算). 设多元函数 f(x) 和 g(x) 具有相同的定义域 Dx. 如有lim xx0Rmf(x) = A R,lim xx0Rmg(x) = B R,则有 lim xx0Rm(f + g)(x) = A + B
9、 R lim xx0Rm(fg)(x) = AB Rlim xx0Rm(fg) (x) =A B R,此处B = 0需指出, 上述性质为计算函数极限的充分性方法, 亦即可以把函数视成二个函数的线性组合、乘积或除法, 如果相应的函数都具有极限, 则原函数的极限为相应极限的线性组合、乘积或比值.4微积分讲稿 谢锡麟高维微分学向量值映照的极限谢锡麟2应用事例3拓广深化值得指出, 本知识点所述的向量值映照的极限定义, Cauchy 叙述与 Heine 叙述的等价性证明以及映照极限的 Cauchy 收敛原理, 都可以 “逐字逐句” 地用于一般赋范线性空间 (X,|X) 与(Y,| |Y) 之间的映照f(x) : X Df x f(x) Y的极限, 仅需以 (Rm,| |Rm) 替代 (X,| |X), (Rn,| |Rn) 替代 (Y,| |Y).4建立路径5
