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1、ARL计算方法综述王兆军巩震邹长亮南开大学数学科学学院统计系天津 300071Abstract质量控制图的研究在统计过程控制(Statistical Process Control, 简称SPC)中占有很重要的位置，且在实际中得到了很好的应用，也取得了很好的经济效益和社会效益. 而ARL (Average Run Length)和ATS (Average Time to Signal)分别是评价各种静态和动态控制图性质好坏的一个常用的关键指标. 到现在为止，关于各种控制图ARL或ATS的计算大致有三种方法：马氏链法、积分方程法和随机模拟，本文将针对各种不同的控制图，对上述前两种方法做一个综述性
2、的总结，以方便研究者和实际工作参考作用.关键词：ARL，ATS，马氏链，积分方程，Shewhart, EWMA, CUSUM学科分类号：O213.11简简简介介介世界上第一个控制图ShewhartX控制图首先由Shewart博士于1925年基于统计的3原理提出(Shewhart(1925)的，由于它仅对检测较大的飘移(shift)效果明显，故陆续又提出了适用于检测中小飘移的CUSUM (Cumulative Sum)控制图(Page(1954)和EWMA (Exponentially Weighted Moving Average) 控制图(Robert (1958). 到目前为止，关于控制图
3、的研究成果和应用成果已相当丰富，请参见Montgomery (2004),Hawkins and Owell (1998), Wetherill and Brown (1991), 张维铭(1992)等. 另外，随着计算机技术的快速发展和生产线的广泛应用，质量控制图技术也得到了快速发展和本 文 章 得 到 了 国 家 自 然 科 学 基 金(10771107,10711120448)和 天 津 市 自 然 科 学 基金(07JCYBJC04300)的资助. 通讯作者，Email：1广泛应用，提出了许多基于快速计算的质量控制图，也就是说，由于高速计算机和大规模数据储存的快速发展，一些十几年前不能
4、实现的模型筛选、自由化建模、模式识别以及变化（异常点）探查等统计方法如今可以有效快速地实施；随着工业领域自动化内高灵敏度传感器等设备的普及应用，大量在线(on-line)数据得以能够快速收集. 对统计方法的灵活性和有效性就提出了更高的挑战.传统的质量控制图相当于如下的假设检验：H0: Xi N(0,20),i 1 H1: Xi( N(0,20),1 i ,N(1,21),i ,其中16= 0或(且)16= 0, 为未知的正整数. 如果原假设成立，即生产线工作正常，则我们希望质量控制图发生错误报警的可能性尽可能小；如果备选假设成立，则我们希望质量控制图尽可能早地检测出飘移的发生及发生的时间. 如
5、果仅感兴趣均值的检测问题，则称这样的控制图为均值控制图(此时1= 0)；如果仅感兴趣方差的检测问题，则称这样的控制图为方差控制图(此时1= 0)；如果对二者均有兴趣，则称之为关于均值与方差的联合控制图.如果在进行质量检验过程中，抽样的时间间隔及样本容量固定不变，则称相应的控制图为静态(static)或固定抽样率(Fixed Sampling Rate, FSR)的控制图，否则就称为动态(adaptive)或变化抽样率(Variable Sampling Rate, VSR)控制图. 关于VSR控制图，如果其抽样间隔固定不变，而每次抽取的样本容量在变化，则称之为变化样本容量(Variable S
6、ample Size, VSS)控制图；如果其样本容量不变，而每次抽样的时间间隔发生变化，则称之为变化抽样区间(Variable Sampling Interval, VSI)控制图；如果抽样间隔及样本容量都发生变化，则称之为变化样本容量及抽样区间(VariableSample Size and Sampling Interval, VSSI)控制图.对于一个FSR控制图，我们称从检测开始到它发出生产出现问题的警号为止的抽取的平均样本组数为平均运行长度(Average Run Length, ARL); 对于一个VSI控制图而言，我们称从检测开始到它发出警号为止的平均运行时间为平均报警时间(A
7、verage Time to Signal, ATS). 对于一个VSS控制图而言，我们称从检测开始到它发出警号为止的平均抽取的样本个数为平均样本数(Average Number of Samples,ANOS).当过程没有飘移出现时，我们称此过程是可控的(in-control), 否则就称为失控(out-of-control). 当过程可控时，质量控制图的报警就属于误报，我们自然希望可控的ARL或ATS越大越好；当过程失控时，我们自然希望质量控制图尽早地报警，即希望失控的ARL或ATS越小越好. 于是，在比较各种控制图的效果好坏时，ARL或ATS是一个很重要的指标. 通常的做法是：固定二者的
8、可控ARL或ATS，之后比较失控的ARL或ATS，失控ARL或ATS越小的控制图的检测能力越好.2我们注意到失控的ARL或ATS是假设从检测开始过程就已失控而进行计算的. 然而在许多实际问题中，检测开始时过程仍处于可控阶段，而失控发生的时间是随机的，故此时失控ARL或ATS就无法准确地反应各控制图的好坏. 于是，就有了稳定态(steady-state, SS)ARL或ATS的概念，简记为SSARL或SSATS.关于各种控制图的ARL或ATS的计算方法大致有三种方法：马氏链法、积分方程法和随机模拟法，另外，也有几种近似计算等. 本文将对上面各种方法做一个综述性的总结，以便实际工作者和研究者参考应
9、用.本文的结构如下：第二节将讨论有关CUSUM 控制图ARL的计算方法；第三节给出了有关EWMA控制图ARL的计算方法；第四节讨论了关于CUSUM和EWMA控制图ARL的一些近似计算方法；第五节为关于各种联合控制图的基于马氏链的ARL计算方法；第六节简单介绍了在计算某些动态控制图ATS时的基本方法；第七节指出了在计算SSARL或SSATS时所用方法与ARL或ATS的不同，并介绍了相关数据动态控制图的SSATS的计算方法；第八届简要回顾了多元控制图的马氏链计算方法；第九节为本文的小结. 在本文的附录中，我们给出了两种求解积分方程近似解的方法.2关关关于于于CUSUM控控控制制制图图图的的的ARL
10、的的的计计计算算算方方方法法法计算各种控制图的马氏链方法最早是由Brook and Evans 于1972年针对CUSUM控制图提出的(Brook and Evans (1972)，之后这种思想被广泛应用于许多控制图ARL的求取上. 另外，积分方程方法也是求取ARL的另一个基本方法，虽然多数情况下积分方程无解析解，但均可以利用Gauss节点法把此积分方程转化与一个线性方程组，并由此求得所需要的ARL值. 本节将分别针对单边的CUSUM、双边CUSUM及AdaptiveCUSUM (ACUSUM)控制图介绍其ARL求取的马氏链方法和积分方程法.2.1马马马氏氏氏链链链方方方法法法由Brook a
11、nd Evans (1972) 提出的马氏链方法的主要思想就是把检测统计量近似成一个状态有限的马尔科夫链，而把统计量的各个取值区间对应成马尔科夫链的各个状态空间，然后写出一步转移概率矩阵. 得到一步转移概率矩阵后，ARL的各种性质便可很容易地根据马尔科夫链的性质去研究.对于各种不同的控制图，马氏链方法的不同和关键都在于一步转移概率矩阵的求取. 我们在本节将详细给出Brook and Evans (1972)的方法，然后再讨论针对其他控制图的具体应用.32.1.1Brook and Evans (1972) 的的的马马马氏氏氏链链链法法法对于单边的CUSUM控制图，他们采用的检测统计量为如下的V
12、-mask形式：Sn= nPi=1(Xi k)，其中Xi为观测变量，k为参考值(reference value)，h为控制限. 他们首先考虑观测值为离散的情况，即Xi，k，h 都是正整数值，因此，Sn也只能取整数值0,1,2,.,h. 如果Sn= i，则称过程处于状态Ei. 如果Sn h，则称其处于吸收态Eh. 过程初始状态假定为E0.当划分好状态空间后，各状态间的一步转移概率则完全决定于观测变量X的概率分布函数. 此时，一步转移概率可如下计算：pij=PSn+1 Ej|Sn Ei = PSn+ Xn+1 k = j|Sn= i=PXn+1 k = j + h i,i 6= h,j 6= h,
13、j 6= 0,pi0=PX k i,pih=PX k + h i,phj=0,j = 0,1,.,h 1,phh=1.当给定h，k及观测变量X的概率分布后，令pr= PX k = r，Fr= PX k r，则一步转移概率矩阵有下面的形式:P =F0p1ph11 Fh1F1p0ph21 Fh2F1hp2hp01 F00001.P是一个h维方阵，其最后一列代表从转移状态Ei到吸收状态Eh的概率，最后一行表示从吸收状态Eh到转移状态Ei的概率. 由于在求ARL时我们仅感兴趣其前h 1行的取值，于是，我们把它写成如下的分块矩阵形式:P = R(I R)10T1!,其中R为P去掉最后一行和最后一列后得到
14、的矩阵，I为h 1阶单位阵，1为元素全为1的h 1维列向量. 根据马尔科夫链的性质，其m步转移概率矩阵为Pm= Pm= Rm(I Rm)10T1!.4以Ti表示从状态Ei出发第一次转移到吸收状态Eh所需要的步数，T = (T0,T1, .,Th1)0，则当检测统计量的初始态为Ei时的ARL值即为E(T)的第i个分量值. 为求相应的ARL值，对于r = 1,2,.，我们定义：Fr= (PT0 r,PT1 r,.,PTh1 r)T,Lr= (PT0= r,PT1= r,.,PTh1= r)T.而根据马尔科夫链的性质，我们有(r = 1,2,.)Fr= (I Rr)1,Lr= RLr1= Rr1(I
15、 R)1.由期望的定义知，ETi=Pm=1mPTi= m =Pm=1PTi m. 于是，我们所求的ARL为ARL = E(T) = (I R)11.(1)从(1)式可以看出，此时链长的分布函数与几何分布有着非常相似的形式.对于一般的检测向上飘移的CUSUM控制图，上述V-mask形式的检测方法等价于如下定义的DI(decision interval)形式:Sn= max0,Sn1+ Xn k,当Sn h时报警. 为了方便，我们记此图为C+(S0,k,h). 同理，以C(s0,k,h)表示用来检测向下飘移的CUSUM控制图: sn= min0,sn1+ Xn+ k.当观测变量X为连续时，Brook and Evans将Sn可能取值的连续空间划分为t+1个子区间:0,/2) /2, + /2) (t 1) /2,(t 1) + /2) h,),其中 = 2h/(2t 1). 当检测统计量Sn落入第i(i = 1,2,.,t + 1)个区间Ii1时，我们就称它处于第i 1个状态Ei1. 显然，Et为吸收态，即前面所讲的Eh.对于此时的一步转移概率pij= PSn+1 Ij|Sn Ii)，可如下近似计算pi0=PSn I0|Sn1= i
