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1、物理原理在數學中的應用傅海倫眾所皆知, 數學在物理學中的應用十分廣泛。 物理學的發展往往需要借助於數學工具, 物理學原理也往往應用數學公理、 定理、 公式、 法則等來闡述或證明; 另一方面, 物理學的革命往往推動數學的發展, 物理在數學中的應用受到重視, 特別是數學教育、 教學中, 在思索和處理數學問題時, 若能借助於物理原型的啟發, 利用一些物理性質幫助分析, 就有可能構思出富有創造性的解法。 本文以質量分佈原理、 力係平衡原理、 光學原理以及物理實驗為例, 來說明物理學在數學中的應用, 以期拋磚引玉, 進一步推動這方面的教學研究。一. 質量分佈原理質量分佈原理是物理學中的基礎原理, 在物理
2、學有著十分廣泛的應用。 對於許多數學問題,如果應用這個原理進行分析, 可以很好地把握住問題的本質, 也可構造出極富創造性的解法, 從而巧妙地解決問題。例 1. 如圖 1 所示, D、 E、 F 分別是 ABC 邊 BC、 CA、 AB 上的點, 且 DC =BC/3, EA = CA/3, FB = AB/3, AD 交 BE 於 P, BE 交 CF 於 Q, CF 交 AD 於R, 已知 ABC 的面積為 7, 求 PQR 的面積。解析: 此題常見的解法是平面幾何的方法, 但需要添加輔助線, 計算十分複雜。 這裡我們借助這樣一個物理原型: 視 ABC 為有質量的三角形, 它的三頂點就是三的
3、質點, 令其質量分佈分別為 A : 1 克; B : 2 克; C : 4 克, 則點 F 為線段 AB 的重心, 其質量為 1 + 2 = 3 克,點 D 為線段 BC 的重心, 質量為 2 + 4 = 6 克, 而 ABC 的重心必在線段 CF 上, 又在線段 AD 上, 故其交點 R 一定是 ABC 的重心, 質量應為 1 + 2 + 4 = 7 克。根據物理質量分佈與槓桿平衡原理, 有: AR = 6RD。又易知 ACD 的面積為 ABC 面積的 1/3 所以, SACR= (136 7)SABC= 2,本文為山東省優秀中青年科學家基金和山東師範大學新世紀教學改革計劃項目成果。6364
4、數學傳播28卷1期 民93年3月同理可得, SABP= SCBQ= 2, 故 SPQR= SABCSACRSABPSCBQ=7 2 2 2 = 1受此問題方法的啟發, 我們突破慣用的教學方法, 在許多數學的定理教學中, 自覺地嘗試運用物理學的有關原理, 會得出一些奇妙證明方法。例如, 平面幾何中三角形重心定理的教學, 就應該突破純數學的方法推導、 證明。 其實, 它更適合應用物理學的原理來讓學生理解重心的概念, 從而掌握重心定理的實質。 上例啟示我們用質量分佈原理進行證明:如圖 2, 可將 ABC 看作為質量的三角形, 它的三個頂點就是三個質點。 只要將 A、B、C 三點的質量分佈均為 m 克
5、, 則 D 為 BC 重心, 質量為 2m 克, E 為 AC 重心, 質量為 2m克, 則 F 為 AB 重心, 質量為 2m 克。 三中線 AD、 BE、 CF 相交於一點 G, G 為 ABC的重心, 質量為 3m 克, 所以有 AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1。圖1圖2圖3圖4不僅如此, 對於三角形內角平分線定理: 只要將 ABC 按如圖分佈質量: A : a 克,B : b克; C : c 克 (a、 b、 c 分別為 BC、 AC、 AB 三邊長度值), 則可證明 ABC 三內角平分線相交於一點, 如圖 3。類似地, 對於三角形的三高線定理:
6、只要將 ABC 按如圖分佈質量: A : tanA 克, B克; tanB : C : tanC 克 (A、 B、 C 分別 ABC 三銳角值), 則可以證明 ABC 三高線相交於一點, 如圖 4。二. 力系平衡原理例 2. 在哪裡建學校, 可使分別在三個村子 A、 B、 C 的三位學生到學校所走路程之和最小?一般情況下, 採取數學的方法解決。 如果給出具體數值, 如圖 5 所示, 學生們可利用平面幾何的方法找到符合條件的學校位置 F, 它使得AFB =BFC =CFA = 120(具體作法與證明略)。 還可以建立直角座標系, 設 F(x,y) 為學校的特定位置, 用兩點間的距離公式,在電腦上
7、求出學校的近似位置。物理原理在數學中的應用65可換個思考方法用物理中力系平衡原理和最小勢能原理求解。方法: 在一水平木板上, 設立 A、 B、 C, 這三點所在位置相當於三個村子。 在 A、 B、C 處各打一小洞 (要均勻光滑), 取三條線繩紮結於一點 F, 穿過洞各掛 1 千克的重物。 當系統平衡時, 繩結 F 點所在位置即為所求。 如圖 6, 當三個力系平衡時, 三重物的勢能的和應達到最小, 即在洞下面部份的繩的總長應達到最大, 由於繩的總長是定值, 故洞上面部份總長FA + FB + FC 達到最小。現在, 讓我們具體分析一下, F 應處在何位置, 在什麼條件下, 系統才能平衡。 有兩種
8、情況討論:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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