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1、概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 数列数列 一数列的概念一数列的概念：数列是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集1,2，3，n ） 的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如如（1 1）已知，则在数列的最大项为_* 2()156nnanNnna（答：） ；1 25（2 2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为na1bnananba,na1na_ （答：） ；na 1na（3 3）已知数列中，且是递增数列，求实数的取值范围na2 nannna （答：） ；3 （4 4）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式)(xfy
2、) 1 , 0(1a 得到的数列满足，则该函数的图象是 （）)(1nnafana)(* 1Nnaann （答：A）A B C D 二等差数列的有关概念二等差数列的有关概念： 1 1等差数列的判断方法：等差数列的判断方法：定义法或。如如1(nnaad d为常数）11(2)nnnnaaaan设 是等差数列，求证：以 bn= 为通项公式的数列为nanaaanL21*nN nb等差数列。 2 2等差数列的通项：等差数列的通项：或。如如1(1)naand()nmaanm d(1)(1)等差数列中，则通项 na1030a2050ana （答：）；210n （2 2）首项为-24 的等差数列，从第 10 项
3、起开始为正数，则公差的取值范围是 _（答：）833d3 3等差数列的前等差数列的前和：和：，。如如n1() 2n nn aaS1(1) 2nn nSnad（1 1）数列 中，前 n 项和，则na* 11(2,)2nnaannN3 2na 15 2nS ，1an（答：，）；13a 10n （2 2）已知数列 的前 n 项和，求数列的前项和na212nSnn|nannT（答：）.2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN4 4等差中项：等差中项：若成等差数列，则 A 叫做与的等差中项，且。, ,a A bab2abA提醒提醒： （1 1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到 5
4、 个元素：、及n1adnna ，其中、称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2nS1ad个，即知 3 求 2。 （2 2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为， （公差为） ；偶数个数成等差，可设为，2 , ,2ad ad a ad add,（公差为 2）3 ,3ad ad ad add 三等差数列的性质三等差数列的性质： 1当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，0d 11(1)naanddnadn且斜率为公差；前和是关于的二次函数且dn2 11(1)()222nn nddSnadnann常数项为 0. 2若公差，则为递增等差数列，若
5、公差，则为递减等差数列，若公差，0d 0d 0d 则为常数列。 3当时,则有，特别地，当时，则有mnpqqpnmaaaa2mnp.如如2mnpaaa（1 1）等差数列中，则_na12318,3,1nnnnSaaaSn（答：27） ； （2 2）在等差数列中，且，是其前项和，则 na10110,0aa1110|aanSnA、都小于 0，都大于 01210,S SSL1112,SS LB、都小于 0，都大于 01219,S SSL2021,SS LC、都小于 0，都大于 0125,S SSL67,S S LD、都小于 0，都大于 0 1220,S SSL2122,SS L（答：B） 4若、是等差数
6、列，则、 (、是非零常数)、na nbnkannkapbkp、 ，也成等差数列，而成等比数列；若*( ,)p nqap qN232,nnnnnSSSSSnaa是等比数列，且，则是等差数列. 如如na0na lgna等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前 3n 和为 。 （答：225） 5在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，na2nSSnd偶奇21n，（这里即） ；。如如SSa奇偶中21(21)nSna中a中na:(1):奇偶SSkk（1 1）在等差数列中，S1122，则_6a（答：2） ； （2 2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为 80，偶数项和为 7
7、5，求此数列的na中间项与项数 （答：5；31）.6若等差数列、的前和分别为、，且，则na nbnnAnB( )nnAf nB.如如2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，nanbnnSnT3413 nn TSnn那么_nn ba（答：）62 87n n 7 “首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增n 等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组n确定出前多少项为非负（或非正） ；法二：因等差数列前项 00 0011nnnn aa aa或n是关于的二次函数，故可转化为求二次
8、函数的最值，但要注意数列的特殊性n 。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想） ，由此你能求一般数*nN 列中的最大或最小项吗？如如 （1 1）等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。na125a 917SS（答：前 13 项和最大，最大值为 169） ； （2 2）若是等差数列，首项，na10,a 200320040aa ，则使前 n 项和成立的最大正整数 n 是 200320040aa0nS （答：4006） 8如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列， 且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意注意：公共项仅是公共的项， 其项数
9、不一定相同，即研究.nmab四等比数列的有关概念四等比数列的有关概念：1等比数列的判断方法：等比数列的判断方法：定义法，其中或1(nnaq qa为常数）0,0nqa11nnnnaa aa。如如(2)n （1 1）一个等比数列共有项，奇数项之积为 100，偶数项之积为 120，则na21n 为_1na（答：） ；5 6 （2 2）数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列nanS1na2n 1annnaab21 是等比数列。nb2 2等比数列的通项：等比数列的通项：或。如如1 1n naa qn m nmaa q设等比数列中，前项和126，求和公比. na166naa21128na annS
10、nq（答：，或 2）6n 1 2q 3等比数列的前等比数列的前和：和：当时，；当时，。如如n1q 1nSna1q 1(1) 1nnaqSq1 1naa q q（1 1）等比数列中，2，S99=77，求q9963aaaL（答：44） ；（2 2）的值为_)(1010 nnkk nC（答：2046） ； 特别提醒：特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首nn 先要判断公比是否为 1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为qqq 1 时，要对分和两种情形讨论求解。q1q 1q 4 4等比中项：等比中项：若成等比数列，那么 A 叫做与的等比中项。提醒提醒：不是任
11、何两, ,a A bab数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数ab 的等差中项为 A，等比中项为 B，则 A 与 B 的大小关系为_（答：AB）, ()a b ab提醒提醒：（1 1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到 5 个元素：、n1aqn 及，其中、称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其nanS1aq余 2 个，即知 3 求 2；（2 2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，（公比为） ；但偶数个数成等比时，不能设为2 2, ,aaa aq aqqqq，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比
12、为。3 3,aqaqqa qa2q如如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的 和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求此四个数。 （答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16） 5.5.等比数列的性质等比数列的性质： （1）当时，则有，特别地，当时，则有mnpqmnpqaaaagg2mnp.如如2 mnpaaag（1 1）在等比数列中，公比 q 是整数，则=_na3847124,512aaa a 10a（答：512） ； （2 2）各项均为正数的等比数列中，若，则 na569aa3132310logloglogaaaL （答：10） 。 (2) 若是
13、等比数列，则、成等比数列；若na|na*( ,)p nqap qNnka成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比， nnab、nna bnna bna1q 则数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列232,nnnnnSSSSS1q n，是常数数列 0，它不是等比数列. 如如232,nnnnnSSSSS（1 1）已知且，设数列满足，且0a 1a nx1log1logananxx (*)nN ，则 . 12100100xxxL101102200xxxL（答：） ；100100a （2 2）在等比数列中，为其前 n 项和，若，则nanS140,1330101030SSSS 的值为_20S
14、（答：40） (3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若10,1aqna10,1aqna，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，10,01aqna10,01aqna0q 则为摆动数列；若，则为常数列.na1q na(4) 当时，这里，但，这是1q baqqaqqaSnn n11110ab0,0ab等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。nnSna如如若是等比数列，且，则 na3nnSrr （答：1） (5) .如如设等比数列的公比为，前项和为，若mn m nmnnmSSq SSq SnaqnnS 成等差数列，则的值为_12,nnnSSSq（答：2） (6) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，na2nSqS偶奇21n.1SaqS奇偶 (7)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非
