《2018版高考数学（理）（北师大版）大一轮复习讲义：第十二章 《概率、随机变量及其分布》12.5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高考数学（理）（北师大版）大一轮复习讲义：第十二章 《概率、随机变量及其分布》12.5（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1条件概率在已知 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率叫作 B 发生时 A 发生的条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为 P(A|B)(P(B)0)PABPB2相互独立事件(1)一般地，对两个事件 A，B，如果 P(AB)P(A)P(B)，则称 A，B 相互独立(2)如果 A，B 相互独立，则 A 与 ， 与 B， 与 也相互独立BAAB(3)如果 A1，A2，An相互独立，则有P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)3二项分布进行 n 次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败” ；(2)每次试验“成功”的概率均为 p， “失
2、败”的概率均为 1p；(3)各次试验是相互独立的用 X 表示这 n 次试验中成功的次数，则P(Xk)C pk(1p)nk(k0,1,2，n)k n若一个随机变量 X 的分布列如上所述，称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，简记为XB(n，p)【知识拓展】超几何分布与二项分布的区别(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；(2)超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率( )(2)相互独立事件就是互斥事件( )(3)对于任意两个事件，公式 P(AB)P(A)P(B)都成立(
3、 )(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b1p.( )(5)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(AB)表示事件 A，B 同时发生的概率( )1袋中有 3 红 5 黑 8 个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( )A. B. C. D.38272837答案 B解析 第一次摸出红球，还剩 2 红 5 黑共 7 个小球，所以再摸到红球的概率为 .272(2016江西于都三中月考)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为 和23，两个零件是否加工为一等品
4、相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( )34A. B. C. D.125121416答案 B解析 因为两人加工为一等品的概率分别为 和 ，2334且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为 P .231413345123(2015课标全国)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A0.648 B0.432 C0.36 D0.312答案 A解析 3 次投篮投中 2 次的概率为P(k2)C 0.62(10.6)，2 3投中 3 次的概率为 P(k3)0.63，所以通过
5、测试的概率为 P(k2)P(k3)C 0.62(10.6)0.630.648.故选 A.2 34某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_答案 0.8解析 已知连续两天为优良的概率是 0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得 P0.8.0.60.755(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 ，乙去北京旅游的概率为 ，假定二人1314的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为_答案
6、12解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件 A， “乙去北京旅游”为事件 B，又 P( )P(A B)P( )1P(A)1P(B)(1 )(1 ) ，AB131412“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游” ，故所求概率为 1P( )1 .A B1212题型一 条件概率例 1 (1)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件 B为“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)等于( )A. B.1814C. D.2512(2)如图所示，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一粒豆
7、子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ，则 P(B|A)_.答案 (1)B (2)14解析 (1)P(A) ，P(AB)，C2 3C2 2C2 525C2 2C2 5110P(B|A) .PABPA14(2)AB 表示事件“豆子落在OEH 内” ，P(B|A) .PABPA OEH的面积正方形EFGH的面积14引申探究1若将本例(1)中的事件 B：“取到的 2 个数均为偶数”改为“取到的 2 个数均为奇数” ，则结果如何？解 P(A) ，C2 3C2 2C2 525P(B)，又 AB，则 P(AB)P(B)，
8、C2 3C2 5310310所以 P(B|A) .PABPAPBPA342在本例(2)的条件下，求 P(A|B)解 由题意知，EOH90，故 P(B) ，14又P(AB)， OEH的面积圆O的面积12 1 1 1212P(A|B) .PABPB12142思维升华 条件概率的求法(1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)求 P(B|A)PABPA(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A).nABnA(2016开封模拟)已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡
9、的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A. B.31029C. D.7879答案 D解析 方法一 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡” ，事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口灯泡” ，则 P(A)，P(AB) ，31031079730则所求概率为 P(B|A) .PABPA73031079方法二 第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡，其中有 7 只卡口灯泡，故第 2 次抽到卡口灯泡的概率为 .C1 7C1 979题型二 相互独立事件的概率例 2 设某
10、校新、老校区之间开车单程所需时间为 T，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求 T 的分布列；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率解 (1)由统计结果可得 T 的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得 T 的分布列为T25303540P0.20.30.40.1(2)设 T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与 T 的分布
11、列相同，设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟” ，由于讲座时间为 50 分钟，所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟” 方法一 P(A)P(T1T270)P(T125，T245)P(T130，T240)P(T135，T235)P(T140，T230)0.210.310.40.90.10.50.91.方法二 P( )P(T1T270)P(T135，T240)P(T140，T235)P(T140，T240)A0.40.10.10.40.10.10.09，故 P(A)1P( )0.91.A思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是
12、否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算(2016青岛模拟)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度不超过 22 千米的地铁票价如下表：乘坐里程 x(单位：km)0x66x1212x22票价(单位：元)345现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过 22 千米已知甲、乙乘车不超过 6 千米的概率分别为 ，甲、乙乘车超过 6 千米且不超过 12 千米的概率分别为 ， .14131213(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之
13、和为随机变量 ，求 的分布列解 (1)由题意可知，甲、乙乘车超过 12 千米且不超过 22 千米的概率分别为 ，1413则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P1 ，14131213141313所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P1P11 .1323(2)由题意可知，6,7,8,9,10，则 P(6) ，1413112P(7) ，1413121314P(8) ，14131413121313P(9) ，1213141314P(10) .1413112所以 的分布列为678910P112141314112题型三 独立重复试验与二项分布命题点 1 根据独立重复试验求概率例 3 甲、乙两支排球队进行比
14、赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果相互独1223立(1)分别求甲队以 30,31,32 胜利的概率；(2)若比赛结果为 30 或 31，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 32，则胜利方得 2 分，对方得 1 分求乙队得分 X 的分布列解 (1)设“甲队以 30,31,32 胜利”分别为事件 A，B，C，则 P(A) ，232323827P(B)C2 ，2 3(23)(123)23827P(C)C22 .2 4(23)(123)12427(2)X 的可能取值为 0,1,2,3，则 P(
15、X0)P(A)P(B)，1627P(X1)P(C)，427P(X2)C 22，2 4(123)(23)(112)427P(X3)3C2 .(13)2 3(13)231319故 X 的分布列为X0123P162742742719命题点 2 根据独立重复试验求二项分布例 4 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分)设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立12(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解 (1)X 可能的取值
