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1、2 福建中学数学 2 0 1 3 年第 l 1 期 把 自己变得更聪明，更机智 ” 变，小至题 目的图形可变 ，数字可变 ，条件可 变 ，结论可变 ；大至教法可变 ，考试方法可变 ，甚 至教材内容可变 变，充满着神奇 ；变 ，孕育着创 造 变的魅力吸引着好奇心、好胜心较强的中学生， 学生一旦将单纯的兴趣与崇高 的理想结合在一起 ， 就会产生一种强大 的力量 ，它能不断地促进学生去 思考、去探索 ，逐步引导他们爱学数学、学好数学， 从而发展他们 的智力 ，为将来钻研科学技术打下牢 固的基础 回顾 变式教学是数学教学 的一种重要形式 ，我甚至 觉得“ 变式” 是数学教学的魅力所在 虽然其他学科也
2、可进行变式教学，但数学中的“ 变” ，魅力最大 凝思 虽然变式教学理念提 出了多年 ，但教师的变式 意识总体上说是不强的 有证为例 ：笔者想主编一本 数学一课一例1 0 0 例 的书 ，由于应征者太少 ，最终不得不放弃 展望 我在厦门一 中数学教研组会上 ，曾讲到我的 个观点 ：凡例必变 曾读一书 ，书名为 中学数学发散思维 ，觉得 编的挺不错 ，只是有些“ 变” ，比较“ 牵强” ，还不“ 有 机” ，希望有人继续深入研究这个问题 前些年 ，又获一书一 一 一 日一例一题 ，东北 师范大学出版社出版， 类似“ 一课一例” ， 编的很到位 ， 很适用，很有特色 ，但好像 只出版了高一 ( 上)
3、的 一本 ，或是我没有买到其它年级的 企盼这套书能 出齐 ，让 更多师生获益 ；或谁能告诉我哪里还能买 到，让我再陶醉于“ 一例” 的变式与探索之中 一道高考题的溯源、推广与改进 何灯 李云杰 1 福建省福清市港头中学 ( 3 5 0 3 1 7 ) 2 福建省福清市第三中学 ( 3 5 0 3 1 5 ) 1原题再现 ( 2 0 l 3年高考新课标全 国卷 理 2 4 )设 a ， b ， C 均为正数 ，且 a 十 b + C =1 证 明： (I)略； ( ) + + 1 D C a 2式 ( )溯源 式 ( )最早以多元形式出现于 1 9 8 4全国高中 数学联赛二试的一道试题：设X
4、， X ： ， ， 都是正 、 2 、 ，2、 2 2 数 ，求证 + + + + l + 2 + + 2 X3 X 1 2 0 0 5 年巴尔干数学奥林匹克试题则给 出了式( ) 的 一 个 加 强 ： 设 口， b ， C均 为 正 数 ， 求 证 + + 一C2 + b +c+ ! 二 b c a a+b+c 2 0 0 7 年伊朗国家选拔赛以证明式( ) 为其赛题， 此为式( ) 的正式亮相 式 ( 1 1 )常见的证 明是添项并结合基本不等式， 笔者将给出一个更简洁的证 明 首先 ，推导一个有用的结论 由柯西不等式可得 ，对任意的实数 X 。 ， X ， X 3 及 i E数 Y ，
5、 ， Y ， Y 3 ， ( X l + 2 + ) =(意 + 袁 + X 3 ) ( 至 + 蔓 + 互) ( 。 + + ) ， 从而可得 2 +生 2 +皇 2 式是 y y 2 y 3 y 十 y 2 十y 3 柯西不等式最常见的变形 ，应用及其广泛 式 ( ) 简 证 ： 由 式 得 车 + + D c a a 七 。 七 c =a+b+C=1 下面利用式及基本不等式给出式( ) 的推广 与改进 3式 ( )的推广 文 1 、 2 分别对式做了多元推广( 实际上也是 对式( ) 做 了推广) ， 笔者给出式( ) 的三个单参数推 广 定 理 1设 a， b ， C 均 为正数 ，且
6、 a + b + C =1， 2 0 1 3 年第 1 1 期 福建中学数学 3 0，则 + + C+k a a+k b 1 +Jl 证明 由式得 a2 b C 2 + 一 b+I c e C+k a a+k b ( a + b + c ) ( 6 +k c ) + ( c + k a ) +( + k b ) 1 =一 1 + 评注 令定理1 中七 ： 1 ， 可得一 0 2+ 2一十 b+C C+a a+b 吉 ， 此 不 等 式 为 19 8 8 年 国 际 数 学 友 谊 赛 题 或 2 0 0 5 年第 l 9届北欧数学竞赛题 类似可得 定 理 2 设 a， b， c均为 正数 ，且
7、 a +b +c =1 ， k 0，则 + + + + 2 b+k a C+k b a+ l +k 评注 -xa N 2中 = ，可得 2 + a+2 b b+2 c 十 ，这个不等式结合基本不等式可证 明 2 0 1 0 年浙江省数学高考 自选模块试题 ： J 一 设正实数a ， b ， c 满足a b c 1 ，求 -的 最 小 值 类似定理 l ，有如下推广成立 口 b + 口+2 6 b+2 6 定理 3设 a ， b ， c 均为正数 ，且 a + 6 + c =1 ， + + 证 明 由式得 2 +C4- c a+ a b+ l ( c + k b 04 b 6 4 a b k c
8、 a b 2 c+k a 2 b 2 ( a +6 +C 2 ) c2 a+k b 2 c 2 a 2 b +b c + c a +k ( a b + 6 c +c a 、 ： ： 6 +6 c +c 口+ f 口 2 b 2 +b 2 c +c 1 3 +k 3 ( 口 + b + c ) 一 ( b + 6 C - I- c 口 ) + 七 ( +b + C 2 ) 一 3 ( a 。 b + 6 C +c 2 a ) 0， ( a + b + c ) 一 ( a 2 6 +b 2 c +6 2 ) ( 口 +b +c ) 0 2 ( a + b + c 4 ) +2 ( a b +b 2
9、 c +c 2 a ) 2 ( a b +6 c +C 3 ) + 2 ( a b c +b 2 c a + 6 2 a b ) ， 由基本不等式得 a +b +C +a b +b C +6 2 a =( a 4 + a 2 b ) + ( b 4 +6 C ) +( c 4 + 6 2 a ) 2 ( a b + b c + C 3 a )， a +b 4+C 4+口 b +b 2 c 。+c 2 a =( a 4 + 6 C ) +( b 十 6 2 a ) +( c + a 2 b ) 2 ( a b c + b 2 c a -4 - 6 2 a b ) ， 上述两个不等式左右分别相加，
10、得证 ( 口 +6 + c ) 一( 口 b + b 2 C + C 口 ) ( +6 +c ) 0 又 ( a 。 + 6 + c ) 一 3 ( a b 。 + 6 c + c a ) 0 a + b + C a 2 b +b 2 c + c a ，显然成立 综上 ，定理 3成立 评注 定理 3 与定理 1 的证明同样利用了式， 不同的是做了一下处理 ( 否则无法证明定理 3 )，将 各项的分子分母次数相应提高，这也是在利用式 证 明不等 式 时常 用 的 令 定理 3 中 k=1，可得 ，2 1 , 2 2 十 十 ， 改进了 数学通报 2 0 1 1 0 十 C C十 a a 十 o
11、q 年第4 期的问题栏 2 0 0 0 题： 设 a ， b ， c 均为正数，且 口 + 6 + c =l ，求让 a 2 +旦6+ a2 + C2 +b l 一 2 4式 ( 1 1 )的改进 定理 4设 a ， b ， C 均为正数，且a + b + c = 1 ，则 + +cA 1 + + + l + 一 b c a 3 ( 口 一6 ) + ( 6 一 c ) +( C 一 日 ) +b+c 证明 令式中a = b ，b = C，C = a， 可得 堡+ + -Z + 4 ( b - c ) 2a b C -t- + + + + c a b a+b+C 令上式中a：b，b= C，C
12、=a， 可得 将式 可得 口 + 6 + c + 4 ( c -a ) 2 a+b十C 及上述两个不等式左右两边分别相加， 3 +等 + 3 ( +6 + c ) + 4( a -b ) 2 + a + + c 4 ( b 口+b+c 两边 同除以3，可得定理 4 问题 定理 4中的系数 给有兴趣的读者继续探究 + a 4 - b， + C 4是否可改进 ，此问题留 定理 5设 a ， b ， c 均为正数，且a + b 4- C = 1 ，则 车+ + 1 + ( 一 ) + ( 一 ) ： + ( 一 ) ： D C a 一 c + 一 6 + 一 4 福建中学数 学 2 0 1 3年第
13、1 1 期 证明 作代换 a =x ，b =Y ，C =Z 2 ( ， Y， z 0 ) ， 则不等式等价于 + + 一 ( x + 。 +z ) Y Z 一( ) 一 ( Y z ) 一 ( z ) 0， 去分母 ，等价于证明 z + +z 6 y +2 x Y z +2 z +2 z X Y 3 x y 2 z +3 y4 Z X +3 z y 2 x 。 由基本不等式有 X 6 Z +2 x Y z 。 =X 3 Z ( +Y +Y ) 3 x Y z ， y 6 x + 2 z X =y 3 x ( J ， +z + z ) 3 y z X ， z6y +2 z X Y =z 3 y
14、( z +X +X 3 ) 3 z Y X ，上述三式左右分别相加，即知定理 5成立 参考文献 1 】 安振平，刘聪胜 一道巴尔干数学奥林匹克竞赛试题的推广数学通 讯，2 0 0 6 ( 9 )：4 4 2 万家练 一道巴尔 _F 数学奥林匹克竞赛题的再推广数学通讯 ，2 0 0 6 ( 1 7 ) ：3 5 3 6 【 3 】 安振 平 一道高考不等式题的研究性学习 中学生理科应试， 2 0 1 2( 2 ) ： S 6 纯粹中富内涵 常规中现精彩 例谈参数方程的考查形式 徐转贵 福建省浦城县第一中学 ( 3 5 3 4 0 0 ) 参数方程作为选考内容 ，是数学课标课程 高考 盛宴中的一份“ 小甜点”虽不起眼，但其纯粹中富 内涵，常规中现精彩下面从几道 2 0 1 3年高考试题 入手 ，谈谈参数方程的五种常见考查形式 ，以品其 中之韵味 1基于认知的参数方程的特征考查 课标 与 考纲 的要求之一是“ 了解参数方 程 ” 由此
