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1、1应用贝氏网络诊断国小四年级学童面积错误类型之研究李俊仪1 许雅菱2 施淑娟3 郭伯臣4 刘湘川51 台中县光隆国小2 台中市赖厝国小3 国立台中师范学院数学教育学系4 国立台中师范学院教育测验与统计研究所5 台中健康暨管理学院心理学系暨生物信息研究所联络电话：(04)22263181-225 传真：0422200818 e-mail:sscmail.ntctc.edu.tw摘要本研究的主要目的在探讨以国小四年级面积单元为例，以面积计算 错误类型为诊断单位，尝试采用以机率推理为基础的贝氏网络作为分析工具， 来探讨应用贝氏网络于诊断学生错误类型的可行性。并希望在了解学生在学习 该单元后可能产生的
2、错误类型的同时，也能提供教师在实际教学上了解学童缺 少哪些子技能而造成这些错误类型的产生，进而积极且省时的提供主要的补救 教学。研究结果发现贝氏网络能有效将子技能、错误类型做适当的分类。关键词：贝氏网络 面积 学习诊断2第一节 绪论贝氏网络是近年来在一些专业领域相当热门的判断方法，举凡是信息科学 的人工智能，医学的疾病诊断，体育的足球得分预测，都能利用贝氏网络来达 成。在国小数学教学上，研究者为了了解学生学习该单元的迷思所在，以利教 师进行后续的补救教学，过去多半是以质的分析方式为主，例如：对个别学生 进行访谈、原案分析等等的方式。这类方式虽然可以比较深入地了解学生的想 法及其错误在哪里，但是
3、会因个案的不同而有不同的处理方式，且非常耗时耗 力，对于教学工作繁重的国小教师而言，上述方式不太容易在实际教学中实行。 在本研究中，研究人员针对国小学童在学习数学单元时，利用贝氏网络的预测 和诊断学童具有的错误概念和技能，做较接近真实的分类及诊断，并期望其结 果，能提供教学者及学习者充足的诊断信息。因此，本研究企图建立一个以 错误类型为诊断单位，并同时诊断成份的量化分析模式，是我们想去研究 尝试的地方。 基于上述，本研究拟以国小四年级面积知识为例，并以面积计算错 误类型为诊断单位，并尝试采用以机率推理为基础的贝氏网络作为分析工具， 来探讨应用贝氏网络于诊断学生错误类型的可行性。同时，了解学生在
4、学习该 单元后，可能产生的错误类型;更希望了解教师在实际教学上，究竟是哪些子技 能的缺乏，造成这些错误类型的产生。因此，本研究之贝氏网络亦将子技能纳 入分析。 根据以上的想法，本研究之目的如下： 1. 探讨贝氏网络模式应用于诊断国小四年级学童面积错误类型之可行性。 2. 探讨比较选择题多选项二元计分和单选项二元计分的作答数据输入值对贝氏 网络诊断正确率的影响。3. 探讨不同的分类决断值对贝氏网络诊断正确率的影响。第二节 文献探讨壹、面积的迷思概念壹、面积的迷思概念 根据前人的研究，我们将国小学童在面积学习时容易产生的迷思概念归纳 成以下几类：1. 以单位面积来覆盖长方形面积，学童容易将前一问题
5、答案的 2 倍来回答。 （高敬文、黄金钟，民 77） 2. 正方形的边长加倍，面积也会变大两倍。(Tierney et al.，1990;Simon 陈建诚，民 87;Baturo 221001cmm 给定 G=g 的机率，我们要去计算 A;也就是 P(A|G=g),以较为简洁的方式;表示其联合机率分布的计算为：x - )(),( gGPgGAP g)G|P(A)(),(),(gGPgGAPgGAP CEFDABDEFBC CBFPEDgGPAEPADPACPABPAPCBFPEDgGPAEPADPACPABPAP),|(),|()|()|()|()|()(),|(),|()|()|()|()
6、|()(1) 贝氏网络的模式使得联合机率分布的计算是根据变量集合为条件独立假设，藉由分解联合机率分布至数种条件机率分布(Huang,1999)。 另一方面，假如我们没有关于网络其它变量的任何信息，其算式将变为：)(),( gGPgGAP g)G|P(A(2) FEDCBAFEDCB gGFEDCBAPgGFEDCBAP, ),(),(像上述的情形式(2)我们必须明确定义出个变量，也就是 64 个局部条件62 机率，与式(1)中 16 个局部条件机率相较之下，使用图一的贝氏网络表示法显 得较为简单。一般来说，我们需要大约个条件机率做明确的网络推论，在此变量有二k2个条件，n 代表节点数，k 是网
7、络中父节点的最大数（Russell & Norvig,1995） 。 相对的，联合机率分布的计算其总和超过个。变量的个数以指数的形式增加，n2因此在大部分的情况下使用 2n个参数的联合机率分布是较不可行的。因此，以 贝氏网络的架构来计算变量集的联合机率分布是最为可行的方式。 三、贝氏网络在教育测验上的应用 一个测验的设计者必须先明确定义一套欲测出的技能、能力、迷失概念等等，以及试题库。令代表受测的技能、能力、及迷思概念的集合。kSSS,.,1代表试题的集合。设计者要能明确的定义技能，使其能直接与mXXX,.,1每个问题有关联。这些关系常常是机率，特别使用于选择题的测验。Almond 和 Mis
8、levy(1999)提出 CAT 的图形模式。每个技能及每个问题iS是代表任意变量有限集合值和。我们将使用来表示多维任意变量jXiSjX7。代表多维任意变量。Almond 和 Mislevy 的模式符合学),.,(kSS1),.,(mXX1生模式 P(S S)，证据模式对于每个问题。j代表可能的多维变)|(j jXPS SjX量，在此。基本假设是从的技能只有直接关联到问题。在)(j lSSSjSjSjX机率模式的语言下，在已知多维变量j的状态，问题是独立于技能jX。学生模式描述在学生模式变量的定义以及联合机率分布 P(S S)与技能j lSSS 之间的关系。使用 Almond 和 Mislev
9、y 的方法，我们定义所有的问题机率模式为 一个贝氏网络。),(X XS SP jXj jXPP)|()(S SS S我们使用一个机率模式 P(S S，X X)并藉贝氏网络来模式化问题。假设有一些收集的资料，对于从数据中建立贝氏网络模式的结构化),(),.,(nnDs sx xs sx x11学习的不同方法是有用的。因为我们以预测是否缺乏或呈现技能为主要目的，可能是用不同模式所测出的分数，可以用模型 P 在已知 D 的条件下对数概似 机率来呈现： niiiPDPCLL1)|(log)|(x xs s图二描述长度二所有可能测验的状态空间，在选择下一个问题时矩形节点 对应于状态中的一个决定，椭圆形对
10、应于受试者的答案状态来给定被观察的问题，边对应于答案。假设问题是被选择为第一个问题，在图二中第二个问题2X被选的情形如下图所示：)(02XP)(12XP1X2X3X2X3X2X3X1X3X1X3X1X2X1X2X8图二（出自于 Jirl, V.().Bayesian Networks in Educational Testing 第八页）对学生 s ，设 是变数的采集(collection)，测量学生在感兴趣NssSS,1 ,.领域的知识，技能或能力。在任何时间点上，我们有关学生熟练度的知识，我们用机率分布表示。事先机率分布 Pr(Ss)，经常是基于这些技能在所感兴趣的母体的分布。我们感兴趣的
11、是从画出推论， =是观)|Pr(ssXSsXMssXX,.,1 ,测的采集，从学生在 M 个工作的反应，学生模式变量纯粹是潜在的；这观测sS和事先假定，关于观测和学生模式变量的关系，是需要推论。Almond 和 Mislevy (1999) 描述这大体的架构。 根据上述，本研究将尝试采用此种教育估计的图形模型来进行学生具有某 种面积错误类型的机率之推估，并进而了解将此种方法应用于诊断学生错误概 念的精准度。 第三节 研究方法壹、研究样本壹、研究样本测验编制完成后即进行预试，受试样本男生 18 名、女生 16 名，总计 34 名。 样本遍及台湾北中南地区的国民小学各数个班。每次施测时间约 40
12、分钟。正式 施测对象为国民小学四年级的学生，有效样本总计 653 名，其中男生 341 名、 女生 312 名。 贰、研究工具贰、研究工具 测验工作在预试前后，邀请十六位现任的国小教师及相关的教育专家，针 对本测验的试题进行讨论、出题、审题、编卷。先进行预试，以了解学生反应 及作答情形，再以口头访问的方式来了解学生可能看不懂的地方，将之改为学 生能理解测验的用字遣词。 1. 面积测验 本研究自编的面积单元测验，试题形式皆为选择题，每个试题只测单 一个概念，其选项各代表一种错误类型。根据学童答题情形，即可判定他学习 成果的良劣及迷思概念的所在。 表一表一 面积测验题型编制架构面积测验题型编制架构
13、 面积内容题号面积内容题号文字计算题4、5、9、10、13 12点数1、8、15单位换算6、7、14、16、18图形题2、3、11、179表二表二 面积面积单元测验试题涉及主要技能成分单元测验试题涉及主要技能成分 面积单元试题主要技能成分面积单元试题主要技能成分计数错误乘法计算错误文字题不懂题意使用错误计算单位换算公式应用错误Item1 Item2 Item3 Item4 Item5 Item6 Item7 Item8 Item9 Item10 Item11 Item12 Item13 Item14 Item15 Item16 Item17 Item182.Bayes Net Toolbox
14、for Matlab本研究使用 Kevin Murphy（2004）所撰写的 Bayes Net 工具箱作为撰写贝 氏网络程序所需的函数，此工具箱的优点为免费提供原始程序代码，并可供修 改及扩充，并附有详细使用说明容易上手；其缺点是尚未建立完整的使用者接 口，使用者必须具有专业的撰写程序能力才能娴熟使用。3.Matlab 软件本研究使用 Matlab6.5 版进行先验分配的计算与主程序撰写，并与 Bayes Net Toolbox for Matlab 结合成一完整的程序，在撰写程序时互相搭配使用， 呈现因果关系图形与机率值的完美结合。4.Bilog-MG 软件使用 Bilog-MG 软件计算
15、本研究纸本测验的信度与试题的特性，包含试题 在 IRT 中所谓的能力值、鉴别度、难度及猜测度等等，使研究者更能了解所编 制测验的优劣及适用程度。 参、研究步骤与实施参、研究步骤与实施 本研究的进行费时费力，尤其以人工阅卷及分类错误类型来建立效标之工 作最为耗费人力。经过多次讨论与访问，以求得最精准的讯息。完整的研究步 骤如下所列： 1. 搜集国内外面积迷思概念之相关文献，并尝试建立面积单元的错误类型 数据。 2. 研究小组透过讨论协商，建立面积单元贝氏网络架构。 3. 设计以选择题为主的试卷（未来希望能以计算机化测验呈现方式为目的）并10根据已订定的错误概念设计各题之选项，以期该选项能代表其错
16、误类型。 4. 设计施测试卷，并以前测的结果来决定题目（选项）的增减与数字或字句的 修正。 5. 正式于各校施测，经回收后逐一批阅建档。 6. 根据施测结果，错误类型出现次数的多寡，进而简化及修正面积贝氏网络， 其架构如图三。 7. 研究小组根据每一位学生的答案（试题之选项） ，进行错误类型的归类，以 作为诊断精确度之效标。 8. 利用 Bayes Net Toolbox 与 Matlab 软件撰写面积单元贝氏网络程序。 9. 将后验分配设定各种决断值，判定受试者是否犯了某项错误类型（bug）及 是否具有某项技能(skill)。 10. 将诊断结果与效标比较，计算各种贝氏网络模式的诊断精确度。试题
