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1、初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形 一、知识要点 1、 整式的恒等变形 把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形 2、 整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一 个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习 数学的基础。 3、 乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： (a+b) (a-b)=a2-b2 (ab)2=a22ab+b2 (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3 (a+b+c)2= a2+b2+c
2、2+2ab+2bc+2ca (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc (ab)3= a33a2b+3a b2b3 4、 整式的整除 如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除， 也可说除式能整除被除式。 5、 余数定理多项式除以 (x-a) 所得的余数等于。 xf af特别地=0 时，多项式能被(x-a) 整除 af xf二、例题精讲 例 1 在数 1，2，3，1998 前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 分析 要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解 因 1+2+3+199
3、8=是一个奇数，19999992199811998又在 1，2，3，1998 前添符号“+”和“-” ，并不改变其代数和的奇偶数，故 所得最小非负数不会小于 1。 先考虑四个连续的自然数 n、n+1、n+2、n+3 之间如何添符号，使其代数和最小。 很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 所以我们将 1，2，3，1998 中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号， 即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1 故所求最小的非负数是 1。例 2 计算 (2x3-x+6)(3x2+5x-2)分析 计算整式的乘法
4、时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。 解法 1 原式=6x5+10x4-4x3-3x3-5x2+2x+18x2+30x-12=6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12评注：对于项数多、次数高的整式乘法，可用分离系数法计算，用分离系数法计算时， 多项式要按某一字母降幂排列，如遇缺项，用零补上。解法 2 2+0-1+6) 3+5-2 6+0-3+1810+0-5+30-4+0+2-126+10-7+13+32-12所以，原式=6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12例 3 求(2x6-3x5+4x4-7x3+2x-5) (3x5-x3+
5、2x2+3x-8)展开式中 x8的系数解 x8的系数=22+(-3) (-1)+(-7) 3= -14评注：只要求 x8的系数，并不需要把展开式全部展开。例 4 计算 (3x4-5x3+x2+2)(x2+3)分析 整式除法可用竖式进行解 3 x2 5x - 8 x2+3) 3x4 - 5x3 + x2 + 0x + 23x4 +9 x2 - 5x3 -8 x2+ 0x- 5x3 -15x -8 x2+15x+ 2-8 x2 - 2415x+ 26 所以，商式为 3 x2 5x 8，余式为 15x+ 26 评注：用竖式进行整式除法要注意： (1) 被除式和除式要按同一字母的降幂排列； (2) 如
6、被除式和除式中有缺项，要留有空位； (3) 余式的次数要低于除式的次数； (4) 被除式、除式、商式、余式之间的关系是：被除式=除式商式+余式 例 5 计算 (2x5-15x3+10x2-9) (x+3) 分析 对于除式是一次项系数为 1 的一次多项式的整式除法可用综合除法进行。用综合 除法进行计算，首先要将除式中的常数项改变符号，并用加法计算对应项的系数。解 -3 2 0 -15 10 0 -9 -6 18 -9 -3 9 2 -6 3 1 -3 0 商式=2x 4-6x3+3x2+x -3 评注：用综合除法进行整式除法要注意： (1) 被除式按 x 的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺
7、项，必须用 0 补上；(2) 把除式 x-a 的常数项的相反数 a 写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开； (3) 下移第一个系数作为第三行的第一个数，用它乘以 a，加上第二个系数，得 到第三行的第二个数，再把这个数乘以 a，加上第三个系数，就得到第三行 的第三个数，依次进行运算，最后一个数即为余数，把它用竖线隔开， 线外就是商式的多项式系数。 (4) 如果除式是一次式，但一次项系数不是 1，则应把它化到 1 才能用综合除法。例 6 已知 x+y= -3，x3+y3= -18，求 x7+y7的值 分析：先通过 x+y= -3，x3+y3= -18，求出 xy，再逐步求出 x2+y2、x 4+y
8、4，最后求出x7+y7的值 解 由 x3+y3=(x+y) 3-3xy (x+y) 得 -18=(-3) 3-3 xy(-3) xy=1又由 x2+y2=(x+y) 2-2xy 得 x2+y2=(-3) 2- 21=7而 x 4+y 4=(x2+y2)2-2 x2y2=72-2=47(-18)47=(x3+y3)(x 4+y 4)= x7+y7+ x3 y3 (x+y)= x7+y7 -3从而 x7+y7= -843 评注：本题充分利用 x+y 和 xy，与 x2+y2、x 4+y 4、x7+y7的关系来解题。例 7 求证：(x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3能被 2x2+2y2整除
9、分析 如果将(x2-xy+y2)3与(x2+xy+y2)3直接展开，太繁，可将两个式子整体处理，分别 看作 a 和 b，然后利用乘法公式展开，可将计算简化。解 (x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3=(x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)3 - 3(x2-xy+y2) (x2+xy+y2) (x2-xy+y2)+(x2+xy+y2) =(2x2+2y2)3-3(x2-xy+y2) (x2+xy+y2) (2x2+2y2) 所以原式能被 2x2+2y2整除。 评注：本题采用的是整体处理思想。例 8 试求 x285-x83+x71+x9-x3+x 被 x-1 除所得的余数。 解法 1
10、x285-x83+x71+x9-x3+x=( x285-1) (x83-1)+( x71-1)+( x9-1) (x3-1)+( x -1)+2因为 x285-1、x83-1、x71-1、x9-1、x3-1、x -1 均可被 x-1 整除，所以，原式被 x-1 除所得的余数是 2。解法 2 由余数定理，余数等于 x285-x83+x71+x9-x3+x 在 x=1 时值，即余数=1285-183+171+19-13+1=2评注：本题两种解法中，解法 1 是通过恒等变形，将原式中能被 x -1 整除的部分分解 出，剩下的就是余数。解法 2 是通过余数定理来求余数，这是这类问题的通法， 要熟练掌握
11、。例 9 研究 8486，9892，的简便运算，并请你用整式运算形式表示这一简便运算规律。分析：观察 8486，9892，可得：它们的十位数字特点是 8=8，9=9；而它们的个位数 字和为 4+6=10，8+2=10。则可设十位上的数字为 a，个位上的数字为 b、c，且b+c=10解：根据上面的分析，设十位上的数字为 a，个位上的数字为 b、c，且 b+c=10则 (10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc=100a2+100a+bc=100a(a+1)+bc评注：以后，凡是遇到上述类型的运算均可用此结果进行简便运算。 如 7278=10078+28=5600+16=56
12、16例 10 已知关于 x 的三次多项式除以 x2-1 时，余式是 2x-5；除以 x2-4 时，余式是- 3x+4，求这个三次多项式。 分析：利用被除式=除式商式+余式的关系来解。 解：设这个三次多项式为 ax3+bx2+cx+d (a0)，因为这个三次多项式分别除以 x2-1 和 x2-4，故可设两个商式是：ax+m 和 ax+n，由题意得：ax3+bx2+cx+d=( x2-1) (ax+m)+2x-5 ax3+bx2+cx+d=( x2-4) (ax+n)+ (-3x+4) 在式中分别取 x=1, -1，得 a+b+c+d= -3，-a+b-c+d= -7在式中分别取 x=2, -2，
13、得 8a+4b+2c+d= -2，-8a+4b-2c+d= 10由上面四式解得：8 3113 ,35dcba，所以这个三次多项式为831133523xxx评注：对于求多项式的系数问题常常使用待定系数法。三、巩固练习 选择题 1、若 m=10x3-6x2+5x-4，n=2+9x3+4x-2x2，则 19x3-8x2+9x-2 等于A、m+2n B、m-n C、3m-2n D、m+n 2、如果(a+b-x)2的结果中不含有 x 的一次项，则只要 a、b 满足( )A、a=b B、a=0 或 b=0 C、a= -b D、以上答案都不对 3、若 m2=m+1，n2=n+1，且 mn，则 m5+n5的值
14、为 ( )A、5 B、7 C、9 D、114、已知 x2-6x+1=0，则的值为 ( )221 xx A、32 B、33 C、34 D、355、已知，则(a-b)2+(b-c)2+(a-b) (b-c)的值为 ( )33333 cbaabccbaA、1 B、2 C、3 D、46、设=x2+mx+n (m,n 均为整数)既是多项式 x4+6x2+25 的因式，又是多项式 xf3x4+4x2+28x+5 的因式，则 m 和 n 的值分别是( ) A、m=2，n=5 B、m= -2，n=5 C、m=2，n= -5 D、m= -2，n= -5 填空题7、设 a、b、c 是非零实数，则 abcabc c
15、aca bcbc abab cc bb aa8、设(ax3-x+6)(3x2+5x+b)=6x5+10x 4-7x3+13x2+32x-12，则 a= , b= 9、x+2 除 x4-x3+3x2-10 所得的余数是 10、若 x+y-2 是整式 x2+axy+by2-5x+y+6 的一个因式，则 a+b= 11、(21+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1) (264+1)+1= 12、已知 a、b、c 满足，则 a+b-2c 的值为 accb baac 2 2解答题 13、设 x、y、z 都是整数，且 11 整除 7x+2y-5z，求证：11 整除 3x-7y+12z 14、计算：(4x4-6x2+2) (5x3-2x2+x-1) 15、计算：(8x 2-2x+x 4-14)(x+1)16、已知的值。1612422aaa aaa，试求17、已知 x、y、z 满足条件求 xyz 及 x 4+y 4+z 4的值 452933
