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1、1三棱锥的一个体积公式及其两条推论三棱锥的一个体积公式及其两条推论(李明 中国医科大学数学教研室 110001)摘要摘要: :本文利用空间向量这个强有力的数学工具推导出了三棱锥的一个体积公式（其中为三条侧楞222112coscoscoscoscoscos6Vabcabc、的长度，为它们的相互夹角，即三个侧面顶角)，并由该公式推演出了两条推论.、关键词关键词: : 三棱锥 体积公式 等夹角三棱锥 最大体积0 0 引言引言 我们知道,如果的两条边,其夹角(显然OABOAaOBb、AOB),则的面积(如图 1).将此结论类比到空间(如图 2),我们(0, )OAB1sin2Sab便有如下问题:如果三
2、棱锥的三条侧棱,其夹角OABCOAaOBbOCc、(显然),则AOBBOCCOA、(0, ),(0,2 ) 、三棱锥的体积如何用这些已知的棱长及已知的夹角来表示OABCVabc、呢?即体积的公式是什么呢?V1 1推导体积推导体积的公式的公式 V首先,在图 2 的基础上,以三棱锥的顶点为坐标原点,以为轴正向,以OABCOOAx垂直于所在的平面的方向为轴建立右手空间直角坐标系(如图 3).OABzOxyz2BbAOacOC图 3yz在图 3 中,(其中为未( ,0,0),( cos , sin,0),( , , )OAaOBbbOCx y zuu u vuuu vuuu vxyz、知数),将这些向
3、量带入如下向量方程组:coscosOCcOB OCOB OCOA OCOA OC uuu vuuu v uuu vuuu v uuu vuu u v uuu vuu u v uuu v我们便得到如下关于的代数方程组:xyz、2222cossincoscosxyzcxycxc 由此方程组我们可以求得:22212coscoscoscoscoscos sincz 于是三棱锥的体积为222111sin332 112coscoscoscoscoscos(1)6AOBVSzzababc2 2两条推论两条推论由体积公式(1),我们可以推演出如下两条推论.其中推论 2 的证明略微复杂,下文将详细给出证明步骤,
4、而推论 1 的证明显而易见,不予赘述.推论推论 1(1(等夹角三棱锥体积公式等夹角三棱锥体积公式) )如图 4,在三棱锥中,如果三条侧棱OABC,其夹角(显然),则OAaOBbOCc、AOBBOCCOA 2(0,)3三棱锥的体积为OABC 1(1 cos ) 12cos(2)6Vabcx3BbAOac 图 4CBbAOac图 5C推论推论 2(2(三棱锥最大体积公式三棱锥最大体积公式) )如图 2, 三棱锥的三条侧棱OABC,其夹角(显然OAaOBbOCc、AOBBOCCOA、),则当且仅当时,即(0, ),(0,2 ) 、2两两垂直时(如图 5),其体积最大,为OAOBOC、max1(3)6
5、Vabc证明证明: : 由公式(1),再结合三个数的均值不等式,我们有222222332323112coscoscoscoscoscos6 112coscoscos3 coscoscos6 1123(coscoscos )6 1(1) (12 )61(1)(1)(12 )1 636Vabcabcabctttabctttttabcabc、上述放大过程,第一个“”中的“=”成立,当且仅当成立; 222coscoscos第二个“”中的“=”成立,当且仅当,即.112tt coscoscos0因此,两个“”中的“=”成立,即体积取到最大值,当且仅当max1 6Vabc与同时成立,即222coscoscoscoscoscos0亦即成立,也就是两两垂直,coscoscos02OAOBOC、证毕.
