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1、朱 占奎 陆贤彬 三 角 函数 是 高 中数 学 的重 要 内容 ， 也 是 高考 的重 点 ， 但 它 相 比 数 列 、 函数 等 知 识难度 要小 些 ， 学 好 这块 知 识 首 先 要 掌握 “ 三角 公 式 ” 然 而 ， 三 角公 式 很 多 、 很 繁 、 易 混 、 难记 ， 所 以 ， 掌 握 它 们 需 要 耐 心 ， 要 坚 持 “ 练 习 中熟 化 ” 、 坚 持 “ 经 常性 梳 理 ” ， 在 此 基 础 上 ， 还要 将 三 角公 式 适 当 归类 、 适 当联 系 、 适 当统一 ， 做 到这些 三 角 函数 的 学 习 自然 简单 起来 下 文 以不 同的视
2、 角 ， 尝 试 对 “ 三 角公 式 ” 实 施统一 一 、统一“ 角” 基本 公式 ： s i n a +C O S 。 a 一1 ； S1 n a t an O L 一 COS a 派 生公式 ： t a n a +1 = = = ； + t an一 s i n a 说 明 1在 基 本 公 式 “ s i n a +C O S 口 一 1 ” 两边 同时 除 以C O S d 、 s i n a即 可得 到“ 派 生 等 式” 说 明 2 派 生 公 式 说 明 “ t a n a ”与 “s i n a ” 能直 接联 系 ， 同样 与 “ C O S a ” 也 可 直 接 联 系
3、 了解这 一点 ， 有利 于审题 、 解 题 例如 ： 解 析几 何 中 的弦长 公 式 ： 直 线 z的 斜率为 k ， A( x ， Y ) 、 B( z ， Y 。 ) 是直线 z 上 的 两 点 ， 则 A B 一 研 1 一 z I 一 1 + 砉 l Y 。 I 该公式“ 化斜为直” ， 用水平或竖直 方 向上 的直角边表示斜 边 ， 并用 斜率 k t a n a 表示 ， 推 导的过程主要运 用“ 派生公式” 二 、统一“ 名“ 基本 公式 ： 厂( 2 志 7 c +a ) 一 f ( a ) ， 是 Z， 其 中 ( z ) 指 s i n z， C O S z和 t a
4、n 3 2 “ ； 基本 公式 ：g( 7 【 +a ) 一g( a ) ， k Z， 其 中 g ( z ) 指 t a n-z ； 基本 公式 ： h ( 2 走 7 c +7 1： +a ) 一一h ( z ) ， k Z， 其 中 h ( z ) 指 s i n ， C O S z 说 明 1 公式 ， 可 以从 函数 周 期 性 去理 解 ， 同时 ， 公 式 还 可 以从 “ 终 边 相 同 的 角三角函数值相 等” 这一结论去 理解 公 式 ， ， 均 可 以用 “ 三 角 函数 的定 义 ” 进 行 证 明 ， 也 可 以用 后 续 学 习 的 “ 两 角 和 与 差 的 三
5、角 函数公式 ” 进 行推 导 说明2 上述公式是诱导公式， 还有几 组 ， 这里 不 一 一 介 绍 ， 通 过 这 “ 诱 导 平 台 ” 可 以在 函数 名称 不变 的情 况下 ， 简化 “ 角” 基本公式 ： t a n( a + 一 ； t a 一 基本 公式 ： C O S( 2 a ) 一2 C O S 2 一1 ； s i n ( 3 口)一 3s i n 一 4 s i n。 口； C O S( 3 a ) 一4 C O S 。 一 3 c o s口 说明 -一 公式中， 每一角的函数名称 都 是“ 正 切 ” ， 通 过 这 一 “ 正 切 平 台” ， 可 以处 簿 鲁
6、辨 藏 嬲 v - ： ； 囊 23 三倍角公式 中每个 角的函数名称都是余弦 ， 运用 这些 公式 求 值 时 ， 只需 要 知 道 一 个 三角 函数 值 ， 不 象 其 它 的公 式 ， 如 “ s i n ( + ) 一 s i n a C O S 卢 +C O S a s i n 需 要 知道 一个 角 的两 个 三角 函数值 三 、统 一 “ 平 台” 基 本公 式 S i n 2 a = ； ， 1 + C O S 2 d CO S d 一 一； 2 I C OS 2 d 妇 一可 基本公 式 n 2 a 一 ； c 。 s 2 一再1 - t a n z a t a n； l十
7、 a t a n 2 口一 2 t a n at an 1 a 说 明 1 公 式 统 一 到 “ 余 弦 平 台” 一 一将“ s i n ” ， “ C O S ” ， “ t a n ” 统 一 到余 弦 函数 “ C O S 2 a ” 这一 平 台 ， 即 已知 “ 二 倍 角 的 余 弦” 可 以求 “ 单 角 ” 的正 弦 、 余 弦 和 正 切 ， 所 以这组 公式 也 可 以称 为“ 半 角公 式 ” ( 要 求 的 角 是 已知角 的一半 ) 说 明 2 公 式 统 一 到 “ 正 切 平 台” 将 “ s i n 2 a ” ， “ C O S 2 a ” ， “ t a
8、 n 2 a ” 统 一 C OS 2 a C O S s i n ；s i n ( )一 s i n C O S C O S a s i n卢 说 明 公 式 统 一 到 “ 弦 函 数 平 台” 一公 式 的右边 都 是 “ 单 角 ” 的 正 弦 函数 和余弦函数 ( 通称为 弦函数) ， 即无论 是“ 半 角 ” 、 “ 倍 角 ” 还 是 “ 两 角 的 和 与 差 ” 都 表 示 为 “ 单 角 ” 的三 角 函数 由于 正 弦 和余 弦 函数 的 相 关性 ， 且 同 学 们 对 它 们 比较 了 解 ， 所 以 绝 大部分 的 三角公 式 均 可统 一 到 “ 单角 的弦 函
9、数 ” 四、统一“ 次数“ 基 本公 式 ： s i n 。 一 ( 1 一c 。 s 2 ) ； c。 s2 a 一 I( 1十c 。 s 2 z)； s i n a一 s i n 2o C OS 2 a m 一 “ 说 明公式 统一到“ 一次” 等 式 左 面是 “ 二 次” ， 右 面 是 “ 一 次” ， 将 复 杂 式 子 次数 降为 “ 1次 ” ， 容 易 转 化 为 基 本 函数 Y s i n z 、 Y C O S 有关 问题 ， 所 以 ， 这 组公 式 称 “ 降幂 ” 公式 ， 它经 常用 三角 函数 的化 简 基 本公 式 ： 曼 旦一t a n d COS 说 明
10、公式可 以将 “ 齐 次” 的弦函数 对于 “ a s i n 。 a + b s i n ff C O S + C C O S 。 a ” ， 根 据 “s i n a 十C O S 2 0 一1 ” 将 它统 一 成“ 齐次 分式 ” ， 再 将其分子 、 分母 同除 以“ C O S a ” ： 原式 ： = ： si n“ C OS 口 1- a a t a n 口 + b t a n a + 一 _ _ 一 五、统一“ 项数“ 基本 公式 ： s i n 。 a +C O S a 一1 ； 1 + C O S 2 d 一 2 C O S 口； 1一 C OS 2 a一 2 s i n
11、 a； a s i n +b c o s口 一 干 s i n( a + ) ， 其 中s i n 一 丽 b ， c 。 s 一 丽 a 说明 这类公式还有很多， 它们均统一 到“ 一 项” 等 式左 面 是 “ 两项 ” ， 右 面 只 有 “一项 ” 在 三角 求 值 、 三 角化 简 的过 程 中 ， 如 果将 两项 、 两个 函 数等 转 化 为 常数 “ 1 ” 或 “ 一 个 函数 ” ， 无 疑对 式子 的结 构 上进 行 了简 化 ， 从而 有利 于解题 的顺 利进 行 如 ： 求 函 数 ， ( ) 一 s in X C O S ( z + 号 ) + 的值域 分析 首先
12、， 统一到“ 一个角” ： 厂 ( z ) 一 告 s i n s z 一, g z+ ； 然 后 ， 统 一 一 ： 一扣 2 z 一 c 一s 2 卅 一 六 、统 一到“ 一个公式“ 基本 公 式 ： C O S( 口 + 卢 ) 一 C O S a C O S s i n a s i n口 说 明三角公式很多且易混淆 ， 如果采 用“ 熟记” 的方式很难记忆 ， 即使新课时背得 滚瓜烂熟 ， 过不了多久也会忘记 但是， 如果 我们 在熟 记公 式 的同 时 ， 也熟 记 一 下 公 式 之 间逻辑关 系， 即采用 “ 数学 记忆” ， 不仅不再 要 “ 死记 硬 背 ” ， 简 化 了
13、 我 们 记 忆 的过 程 ， 而 且能让我们 的记 忆更长久 、 更 可靠 ， 哪怕 是 忘 记 了 ， 我们 也 能逻 辑 地 将 之恢 复 两 角 和 与差 的三 角 函数 中 的公 式 可 以从 “ 基 本 公 式” 推演得到 ， 具体处理如下 ： 将 公式 中 的 “ ” 用 “ 一卢 ” 替 换 ， 可 得 ： C O S( a -p ) 一C O S a C O S 卢 +s i n a s i n卢 ； 将公式中的“ 用“ 一号” 替换， 可得： s i n( a +J8 ) 一s i n口 c o s +c o s a s i n 将 公 式 ， 的“ 用 “ a ” 替换
14、， 可 的到二 倍角公 式 ： s i n 2 a =2 s i n a C O S a 、 C O S 2 a - - C O S a s i n a ； 借 助 s i n 。 口 + C O S a 一 1 ， 公 式 加 强 为 ： C OS 2 口一 C O S s i n a一 1 2 s i n。 a一 2 C OS a 一1 ； 对公 式 进 行 变 形 ， 可 得 到 升 幂 公 式 ： 1 + C O S 2 口一 2 C O S 、 1 一 C O S 2 a 一 2 s i n ， 以 及 降 幂 公 C O S 2 ff 、 i n z 一 二 ! 2 锄 撒 f 莲
