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1、华中师范大学华中师范大学 2011 2012 学学 年第年第 二二 学期学期期末考试试卷（期末考试试卷（B 卷）卷）课程名称 泛函分析 课程编号 83410016 任课教师 彭双阶 题型判断填空简述计算证明总分分值1520161237100得分得分评阅人一、判断题：（判断下列论断正确与否，对的打“” ，错的打“” 。共五小题，每小题 3 分，共 15 分）1， 完备的距离空间是第二类型集。 （ ）2， 距离空间中的闭集可表示成可列个开集的交 （ ）3， 全有界集是有界且可分的。 （ ）4， 设为内积空间 X 上的子集，则一定有。 （ MMM） 5， 设为 Banach 空间，是从到的算子，则有
2、界的充要条件是连续的。 （ 12,E ET1E2ETT）院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： - 密 - 封 - 线 -第 1 页(共 3 页)得分评阅人 二、填空题：（共 10 个空，每空 2 分，共 20 分）1. 设是从 到自身的映射，如果 使得 T,X则称是一个压缩映射。T2. 2，设是距离空间的一个集族，如果 ，则称 CC JF集族具有有限交性质。 CC JF3，设 X，Y 是赋范线性空间，T 为从 X 映到 Y 上的线性算子，称集合= TG为 T 的图像。如果 T 的图像是 ，则称算子 T 为 X 到 Y 上的闭算子。4，赋范线性空间 E 的范数满足 ，则可以在 E 中定
3、义内积使其成为内积空间。5，给定距离空间，。若 ，都存在的,XMXM一个 ，则称集合是全有界的。M6，集合准紧的充分必要条件是 A 具有下列性质：( , )(1)PALa bP (i) 集合 A 是有界的，即 ；（ii） 。得分评阅人三、简述题：（共 3 小，第 1，2 两小题各 5 分，第 3小题 6 分，共 16 分）1， 叙述不动点定理。2， 叙述共鸣定理3，集合的稠密性的定义以及三个等价定义。得分评阅人 四、计算题：（共 2 小题，每题 6 分，共 12 分）1， 设，定义算子,，1( , ), , XLa bYC a b:T XY( )( )( )( )xaf xT fxf t dt
4、求的范数。T- 密 - 封 - 线 -第 2 页(共 3 页)2，设1 ( )0 1f t 100 01tt t 请构造序列使得( )nf t1( 1,1)( )( )0n nLf tf t 得分评阅人五、证明题：（共四小题，前 3 个小题各 9 分，最后一题 10 分，共 37 分）1， 设是以为距离的紧空间，是从到它自身的映射，若对任意的，当时有XTX, x yXxy，证明：有唯一的不动点。(,)( , )Tx Tyx yT2，设 X，Y 是赋范线性空间，是线性的，证明：是单射的充要条件是 :F XYFker( )0F 3，设和是 Bananch 空间，证明：乘积空间赋有范数, XYXY( , )XYx yxy是 Banach 空间。( , )x yXY- 密 - 封 - 线 -第 3 页(共 3 页)4，设和是 Banach 空间， 是满射。证明：对的任何稠密子集有XY(, )TX YXD()T DY
