高一数学《空间直角坐标系》第2课时教案

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1、空间直角坐标系431 空间直角坐标系空间直角坐标系学习目标主要概念： 空间直角坐标系-从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴 Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系 O-xyz，点 O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴。 坐标平面-通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面、yOz 平面、 zOx 平面。 右手直角坐标系-在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，若中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 空间直角坐标系中的坐标-对于空间任一点 M，作出 M 点在三条坐标轴 Ox

2、轴、Oy 轴、Oz 轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为 x、y、z，则把有序实数对(x, y, z)叫做 M 点在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x, y, z)，其中 x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标。教材分析一、重点难点本节教学重点是建立空间直角坐标系，难点是用空间直角坐标系刻画点的位置和根据 点的位置表示出点的坐标。二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、知识探求、思考交流三个板块组成。第一板块 问题提出解读借助平面直角坐标系，我 们就可以用坐标表示平面上任 意一点的位置，那么空间的点 如何表示呢？类比于平面直角坐标系的建立。通

3、过具体情境，如 要确定教室内所挂电灯的位置，一方面发现用平面直角 坐标系不能再确定点的位置，需要第三个坐标，拓宽了 思维空间；另一方面感受建立空间直角坐标系的必要性。第二板块 知识探求解读如何建立空间直角坐标系？1、在平面直角坐标系的基础上，通过原点再增加 一根竖轴，就成了空间直角坐标系。 2、如无特别说明，本书建立的坐标系都是右手直 角坐标系。 3、空间直角坐标系象平面直角坐标系一样，有 “三要素”：原点、坐标轴方向、单位长度。 4、在平面上画空间直角坐标系 O-xyz 时，一般使，且使 y 轴和 zo135xOzxOyo90yOz轴的单位长度相同，x 轴上的单位长度为 y 轴(或 z 轴)

4、的 单位长度的一半，即用斜二测的方法画。第三板块 思考交流解读1、为什么空间的点 M 能用 有序实数对(x, y, z)表示？设点 M 为空间直角坐标系中的一点，过点 M 分别 作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交 x 轴、y 轴、 z 轴于 P、Q、R 点，设点 P、Q、R 在 x 轴、y 轴、z 轴 上的坐标分别是 x、y 和 z，那么点 M 就有唯一确定的 有序实数组(x, y, z)；反过来，给定有序实数组(x, y, z)， 可以在 x 轴、y 轴、z 轴上依次取坐标为 x、y 和 z 的点 P、Q 和 R，分别过 P、Q 和 R 点各作一个平面，分别 垂直于 x 轴、y

5、轴、z 轴，这三个平面的唯一的交点就 是有序实数组(x, y, z)确定的点 M。2、课本 P.143，请标出图 4.3-1中，位于 yOz 平面上点、C的坐标；以及 zOx 平面上D点的坐标，有什么意图？A这些点都是特殊点，其目的在于在找出这些特殊点 的过程中，要善于发现它们的规律：在 xOy 平面上的点 的竖坐标都是零，在 yOz 平面上的点的横坐标都是零， 在 zOx 平面上的点的纵坐标都是零；在 Ox 轴上的点的 纵坐标、竖坐标都是零，在 Oy 轴上的点的横坐标、竖 坐标都是零，在 Oz 轴上的点的横坐标、纵坐标都是零。在学习过程中，要养成自己善于总结归纳，发现规 律的良好学习习惯。拓

6、展阅读如果把坐标法理解为通过某一特定系统中的若干数量来决定空间位置的方法，那么 战国时代魏人石申用距度（或入宿度）和去极度两个数据来表示恒星在天球上位置的星 表，可以说是一种球面坐标系统的坐标法。古希腊的地理学家和天文学家也广泛地使用 球面坐标法。西晋人裴秀（223271）提出“制图六体” ，在地图绘制中使用了相当完备 的平面网络坐标法。用坐标法来刻划动态的、连结的点，是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工 具的关键。阿波罗尼在中，已借助坐标来描述曲线。十四世纪法国学者 奥雷斯姆用“经度”和“纬度”(相当于纵坐标和横坐标)的方程来刻划动点的轨迹。十七 世纪，费马和笛卡儿分别创立解析几何，他们

7、使用的都是斜角坐标系：即选定一条直线 作为 X 轴，在其上选定一点为原点，y 的值则由那些与 X 轴成一固定角度的线段的长表 示。 1637 年笛卡儿出版了他的著作，这书有三个附录，其中之一名为，解析几何的思想就包含在这个附录里。笛卡儿在中论述了正确的思想 方法的重要性，表示要创造为实践服务的哲学。笛卡儿在分析了欧几里得几何学和代数学各自的缺点，表示要寻求一种包含这两门科学的优点而没有它们的缺点的方法。这种 方法就是几何与代数的结合-解析几何。按笛卡儿自己的话来说，他创立解析几何学是 为了“决心放弃那仅仅是抽象的几何。这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练 的问题。我这样作，是为了研究另一种几何

8、，即目的在于解释自然现象的几何” 。关于解 析几何学的产生对数学发展的重要意义，这里可以引用法国著名数学家拉格朗日的一段 话：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但当这两门 科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从而以快速的步伐走向完善” 。 十七世纪之后，西方近代数学开始了一个在本质上全新的阶段。正如恩格斯所指出 的，在这个阶段里“最重要的数学方法基本上被确立了；主要由笛卡儿确立了解析几何， 由耐普尔确立了对数，由莱布尼兹，也许还有牛顿确立了微积分” ，而“数学中的转折点 是笛卡儿的变量。有了它，运动进入了数学，因而，辩证法进入了数学，因而微分和积 分的运算也

9、就立刻成为必要的了” 。恩格斯在这里不仅指出了十七世纪数学的主要内容， 而且充分阐明了这些内容的重要意义。解析几何学的创立，开始了用代数方法解决几何问题的新时代。从古希腊时起，在 西方数学发展过程中，几何学似乎一直就是至高无上的。一些代数问题，也都要用几何 方法解决。解析几何的产生，改变了这种传统，在数学思想上可以看作是一次飞跃，代 数方程和曲线、曲面联系起来了。 最早引进负坐标的英国人沃利斯，最早把解析几何推广到三维空间的是法国人费马， 最早应用三维直角坐标系的是瑞士人约翰贝努利。 “坐标”一词是德国人莱布尼兹创用 的。牛顿首先使用极坐标，对于螺线、心形线以及诸如天体在中心力作用下的运动轨迹

10、 的研究甚为方便。不同的坐标系统之间可以互换，最早讨论平面斜角坐标系之间互换关 系的是法国人范斯库腾。 我们今天常常把直角坐标系叫做笛卡儿坐标系，其实那是经过许多后人不断完善后 的结果。 网站点击典型例题解析例 1：在空间直角坐标系中，作出点 M(6，2, 4)。 点拨点 M 的位置可按如下步骤作出：先在 x 轴上作出横坐标是 6 的点，再将沿与 y 轴平行的方向向1M1M左移动 2 个单位得到点，然后将沿与 z 轴平2M2M行的方向向上移动 4 个单位即得点 M。1M2MM（6，-2,4）Oxyz624解答 M 点的位置如图所示。 总结对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出

11、它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识， 而且有利于进一步培养空间想象能力。 变式题演练在空间直角坐标系中，作出下列各点：A(-2,3，3)；B(3，-4,2)；C(4,0，-3)。答案：略 例 2：已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10，试建立适当的空间直 角坐标系，写出各顶点的坐标。 点拨先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系。 解答正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为Q10，正四棱锥的高为。232以正四棱锥的底面中心为原点，平行于 AB、BC 所在的直线分别为 x

12、 轴、y 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为 A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(-2,2，0)、D(-2，-2,0)、P(0,0，)。232总结在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标。 变式题演练在长方体中，AB=12，AD=8，=5，试建立适当的空间直角1111DCBAABCD 1AA坐标系，写出各顶点的坐标。答案：以 A 为原点，射线 AB、AD、分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空1AA间直角坐标系，则 A(0,0，0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、(0

13、,0，5)、1A(12,0，5)、(12,8，5)、(0,8，5)。1B1C1D例 3：在空间直角坐标系中，求出经过 A(2,3，1)且平行于坐标平面 yOz 的平面的 方程。 点拨求与坐标平面 yOz 平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面 yOz 平行的平面内的点的特点来求解。 解答坐标平面 yOzx 轴，而平面与坐标平面 yOz 平行，Q平面也与 x 轴垂直，平面内的所有点在 x 轴上的射影都是同一点，即平面与 x 轴的交点，平面内的所有点的横坐标都相等。OABCDPxyz平面过点 A(2,3，1)，平面内的所有点的横坐标都是 2，Q平面的方程为 x=2。

14、 总结对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一 定点且与 x 轴(或 y 轴)平行的直线的方程。 变式题演练在空间直角坐标系中，求出经过 B(2,3，0)且垂直于坐标平面 xOy 的直线方程。 答案：所求直线的方程为 x=2,y=3.知识结构知识点图表空间直角坐标系右手直角坐标系点的坐标的确定学法指导1、在建立空间直角坐标系 O-xyz 时，要注意使，o135xOzxOy，且使 y 轴和 z 轴的单位长度相同，x 轴上的单位长度为 y 轴(或 z 轴)的单o90yOz位长度的一半。2、在确定给出空间图形各顶点的坐标时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间 直角坐标系，以便于计算所需确定的点的坐标。3、对于空间直角坐标系中的问题，要善于用类比于平面直角坐标系中相关问题的求 解方法解决。