试题名称：全国初中数学竞赛辅导（初1）第19讲几何图形的计数问题

《试题名称：全国初中数学竞赛辅导（初1）第19讲几何图形的计数问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《试题名称：全国初中数学竞赛辅导（初1）第19讲几何图形的计数问题（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第十九讲第十九讲* * 几何图形的计数问题几何图形的计数问题在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种 条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等这类问题看 起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析分析，还是可以找到一些处 理方法的常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法 等例例 1 1 如图 165 所示，数一数图中有多少条不同的线段？解解 对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以 左端点为标准，将线段分 5 类分别计数：(1)以 A 为左端点的线段有 AB，AC，AD，AE，AF 共 5 条；(2)以 B 为左端点的线段有 BC，BD，B

2、E，BF 共 4 条；(3)以 C 为左端点的线段有 CD，CE，CF 共 3 条；(4)以 D 为左端点的线段有 DE，DF 共 2 条；(5)以 E 为左端点的线段只有 EF 一条所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条)一般地，如果一条线段上有 n+1 个点(包括两个端点)，那么这 n+1 个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2例例 2 2 图 166 中有多少个三角形？解解 以 OA 为一边的三角形有OAB，OAC，OAD， OAE，OAF 共 5 个；以 OB 为一边的三角形还有 4 个(前面已计数过的不再数，下同)， 它们是OBC，OB

3、D，OBE， OBF；以 OC 为一边的三角形有 OCD，OCE，OCF 共 3 个；以 OD 为一边的三角形有ODE，ODF 共 2 个；以 OE 为一边的三角形有OEF 一个所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(个)说明说明 其实，不同的三角形数目等于线段 AF 中不同线段的条数一 般地，当原三角形的一条边上有 n+1 个点(包括两端点)时，它们与另一 顶点的连线所构成的三角形总数为 n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2.例例 3 3(1)图 167 中一共有多少个长方形？(2)所有这些长方形的面积和是多少？解(1)图中长的一边有 5 个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同 的线

4、段共有1+2+3+4=10(条)同样，宽的一边上不同的线段也有 10 条所以，共有长方形1010=100(个)(2)因为长的一边上的 10 条线段长分别为5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，宽的一边上的 10 条线段长分别为2，6，13，16，4，11，14，7，10，3所以，所有长方形面积和为(52+56+53)+(172+176+173)+(12+16+13)=(5+17+1)(2+6+3)= 14486=12384例例 4 4 图 168 中共有多少个三角形？解解 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数 相等尖向上的三角形又可分为 6 类：最大的三角形

5、1 个(即ABC)，第二大的三角形有 1+2=3(个)，第三大的三角形有 1+2+3=6(个)，第四大的三角形有 1+2+3+4=10(个)，第五大的三角形有 1+2+3+4+5=15(个)，最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(个)我们的计数是有规律的当然，要注意在ABC 外面还有三个最小 的尖向上的三角形(左、右、下各一个)，所以最小的三角形不是 21 个而 是 24 个于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)图中共有三角形592=118(个)例例 5 5 图 169 中有多少个等腰直角三角形？解解 图 169 中有55+44=41个点在每点标一个数，它等于以

6、这点为直角顶点的等腰直角三角形的 个数因此，共有等腰直角三角形48+516+64+104+84+114+161=268(个)例例 6 6(1)图 170(a)中有多少个三角形？(2)图 170(b)中又有多少个三角形？解解(1)图 170(a)中有 6 条直线一般来说，每 3 条直线能围成一 个三角形，但是这 3 条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成 三角形了从 6 条直线中选 3 条，有种选法(见说明)，每次选出的 3 条直线围成一个三角形，但是在图 170(a)中，每个顶点处有 3 条直线通过，它们不能围成三角形，因此， 共有20-3=17个三角形(2)图 170(b)中有 7 条

7、直线，从 7 条直线中选 3 条，有765/6=35种选法每不过同一点的 3 条直线构成一个三角形图 170(b)中，有 2 个顶点处有 3 条直线通过，它们不能构成三角 形，还有一个顶点有 4 条直线通过，因为 4 条直线中选 3 条有 4 种选法， 即能构成 4 个三角形，现在这 4 个三角形没有了，所以，图 170(b)中 的三角形个数是35-2-4=29(个)说明说明 从 6 条直线中选 2 条，第一条有 6 种选法，第二条有 5 种选法， 共有 65 种选法但是每一种被重复算了一次， 例如 l1l2与 l2l1实际 上是同一种，所以，不同的选法是 652=15 种从 6 条直线中选

8、3 条，第一条有 6 种选法，第二条有 5 种选法，第 三条有 4 种选法，共有 654 种选法但是每一种被重复计算了 6 次， 例如，111213，111312，121113，121311，131112，131211实际上是同一种，所 以，不同的选法应为 654/6=20 种下面我们利用递推的方法来计算一些图形区域问题例例 7 7 问 8 条直线最多能把平面分成多少部分？解解 1 条直线最多将平面分成 2 个部分；2 条直线最多将平面分成 4 个部分；3 条直线最多将平面分成 7 个部分；现在添上第 4 条直线它 与前面的 3 条直线最多有 3 个交点，这 3 个交点将第 4 条直线分成 4

9、 段， 其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图 171，所以 4 条直线 最多将平面分成 7+4=11 个部分完全类似地，5 条直线最多将平面分成 11+5=16 个部分；6 条直线最 多将平面分成 16+6=22 个部分；7 条直线最多将平面分成 22+7=29 个部 分；8 条直线最多将平面分成 29+8=37 个部分所以，8 条直线最多将平面分成 37 个部分说明说明 一般地，n 条直线最多将平面分成个部分例例 8 8 平面上 5 个圆最多能把平面分成多少个部分？解解 1 个圆最多能把平面分成 2 个部分；2 个圆最多能把平面分成 4 个部分；3 个圆最多能把平面分成 8 个部分；现

10、在加入第 4 个圆，为了 使分成的部分最多，第 4 个圆必须与前面 3 个圆都有两个交点如图 172 所示因此得 6 个交点，这 6 个交点将第 4 个圆的圆周分成 6 段 圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是， 4 个圆最多将平面分成 8+6=14 个部分同样道理，5 个圆最多将平面分成 14+8=22 个部分所以，5 个圆最多将平面分成 22 个部分说明说明 用上面类似的方法，我们可以计算出 n 个圆最多分平面的部分 数为2+12+22+(n-1)2=2+21+2+(n-1)=n2-n+2例例 9 9 平面上 5 个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？解解

11、首先，由上题可知，平面上 5 个圆最多能把平面分成 22 个部 分现在加入一条直线由于一条直线最多与一个圆有两个交点，所以， 一条直线与 5 个圆最多有 10 个交点10 个点把这条直线分成了 11 段， 其中 9 段在圆内，2 条射线在圆外9 条在圆内的线段把原来的部分一分 为二，这样就增加了 9 个部分；两条射线把圆外的平面一分为二，圆外 只增加了一个部分所以，总共增加了 10 个部分因此，5 个圆和 1 条直线，最多将平面分成 22+10=32 个部分例例 1010 平面上 5 条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部分？解解 首先，由例例 7 7 知，5 条直线最多将平面分成 16 个

12、部分现在加入一个圆，它最多与每条直线有两个交点，所以，与 5 条直 线最多有 10 个交点这 10 个交点将圆周分成 10 段圆弧，每一段圆弧将原来的部分一分为二，所以，10 段圆弧又把原来的部分增加了 10 个部 分因此，5 条直线和一个圆，最多能把平面分成 16+10=26 个部分例例 1111 三角形 ABC 内部有 1999 个点，以顶点 A，B，C 和这 1999 个 点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？解解 设ABC 内部的 n-1 个点能把原三角形分割成 an-1个小三角形， 我们考虑新增加一个点 Pn之后的情况：(1)若点 Pn在某个小三角形的内部，如图 173(a)，则

13、原小三角形 的三个顶点连同 Pn将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；(2)若点 Pn在某两个小三角形公共边上，如图 173(b)则这两个 小三角形的顶点连同点 Pn将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了 两个小三角形所以，ABC 内部的 n 个点把原三角形分割成的小三角形个数为an=an-1+2易知 a0=1，于是a1=a0+2，a2=a1+2，anan-1+2将上面这些式子相加，得an=2n+1所以，当 n=1999 时，三个顶点 A，B，C 和这 1999 个内点能把原三角 形分割成 21999+1=3999 个小三角形练习十九练习十九1填空：(1)在圆周上有 7 个点 A，B

14、，C，D，E，F 和 G，连接每两个点的线 段共可作出_条(2)已知 5 条线段的长分别是 3，5，7，9，11，若每次以其中 3 条 线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形_个(3)三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为 4，但它不是最短 边，这样不同的三角形共有_个(4)以正七边形的 7 个顶点中的任意 3 个为顶点的三角形中，锐角三 角形的个数是_(5)平面上 10 条直线最多能把平面分成_个部分(6)平面上 10 个圆最多能把平面分成_个区域2有一批长度分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 厘米的 细木条，它们的数量足够多，从中适当选取 3 根木条作为三条边，可围 成一个三角形，如果规定底边是 11 厘米长，你能围成多少个不同的三角 形？3图 174 中有多少个三角形？4图 175 中有多少个梯形？5在等边ABC 所在平面上找到这样一点 P，使PAB，PBC， PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点的个数有多少？6平面上有 10 条直线，其中 4 条直线交于一点，另有 4条直线互相平行，这 10 条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成 多少个部分？