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1、竞赛讲座 32多边形的面积和面积变换多边形的面积和面积变换本讲在初二几何范围内，通过实例对平面图形的面积和用面积变换解几何题作些简单介绍. 所用知识不多，简列如下：（1） 全等形的面积相等；（2） 多边形的面积定理（三角形、梯形等，略）；（3） 等底等高的三角形，平行四边形，梯形的面积相等（对梯形底相等应理解为两 底和相等）；（4） 等底（等高）的三角形，平行四边形，梯形的面积比等于这底上的高（这高对 应的底）的比.以下约定以ABC 同时表示ABC 的面积.1 多边形的面积例 1 （第 34 届美国中学数学竞赛题）在图 23-1 的平面图形中，边 AF 与 CD 平行，BC 与 ED平行，各边
2、长为 1，且FAB=BCD=，该图形的面积是（ ）（A） （B）1 （C） （D） （E）2分析 将这个图形分解为若干个基本图形三角形，连 BF、BE、BD 得四个与ABF 全等的正三角形，进一步计算可得图形面积为.所以选（D）.例 2 （第 5 届美国数学邀请赛试题）如图 23-2 五条线段把矩形 ABCD 分成了面积 相等的四部分，其中 XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX，而 PQ 平行于 AB.如果 BC=19cm，PQ=87cm， 则 AB 的长度等于_.分析 如图,延长 PQ 交 AD、CB 于 E、F.由 YB+BC+CZ=WD+DA+AX 知 a+c=b+d,又梯形
3、PQWZ 与梯 形 PQYX 面积相等,故 E、F 分别为 AD、CB 的中点.而 SAXPWD=SBYQZC，EP=QF，设为 e.由 SAXPWD=SPQZW 得2e=106，AB=2e+87=193.例 3.如图 23-3 四边形 ABCD 的两边 BA 和 CD 相交于 G，E、F 各为 BD、AC 的中点.试证： EFG 的面积等于四边形 ABCD 面积的四分之一.分析 注意到 E、F 各为 BD、AC 的中点，连结 EA、EC 和 FD.则如果能够证明EFG 的面积等于四边形 AEFD 的面积，问题即可解决.为此，取 AD 的中点 P， 连 PE、PF，则 PEGB，PFGC.于是
4、GEP=AEP，GFP=DFP.而PEF 公用. GEF=SAEFD.至此，问题得解.证明略.2 利用面积变换解几何题先看一个例子.例 4.以直角三角形 ABC 的两直角边 AC、BC 为一边各向外侧作正方形 ACDE、BCGH，连结 BE、AH 分别交 AC、BC 于 P、Q.求证:CP=CQ.证明 (如图 23-4)显然 SGCQ=SHCQ，HBAG，SGCQ=SACH=SABC.同理,SBDP=SABC.SAGQ=SBDP,CQAG=CPBD.AG=AC+GC=DC+BC=BD，CP=CQ.此例是关于平面图形中线段的等式，看似与面积无关，然而我们却利用图形之间面积的等量 关系达到了证明的
5、目的.这种不考虑图形的形状只从图形的面积关系入手来研究图形的度量 关系和位置关系的方法即所谓面积变换.例 5 (第 37 届美国中学数学竞赛题)图 23-5 中,ABCDE 是正五边形,AP、AQ 和 AR 是由 A 向 CD、CB 和 DE 的延长线上所引的垂线.设 O 是正五边形的中心,若 OP=1,则 AO+AQ+AR 等于( ).（A）3 （B）1+（C）4 （D）2+ (E)5分析 因题设中 AP、AQ、AR 分别与 CD、CB、DE 垂直，这就便于利用面积作媒介.注意到即由 CD=BC=DE，则 AP+AQ+AR=5OP故 AO+AQ+AR=4.应选（C）.例 6 （第 37 届美
6、国中学数学竞赛题）不等边三角形 ABC 的两条高的长度分别为 4 和 12.若 第三条高也为整数，那么它的长度最大可能是（ ）.（A）4 （B）5 （C）6 （D）7（E）不同于（A）-（D）的答案解 设ABC 第三边上的高为 h，面积为 S，则该三角形的三边可表示为显见.据“三角形两边之和大于第三边”有+，+.解得 3h6.所以选（B）.例 7 图 23-6 中，已知 AB 是直角三角形 ABC 的斜边，在射线 AC、BC 上各取一点、，使P、Q 是ABC 内两点，如果 P，Q 到ABC 各边的距离之和相等，则 PQ；反之亦然.证明 设 P、Q 到ABC 各边的距离之和分别为 S（P），S（
7、Q）.连 PA、PB、P、P，不 难发现APB+AP+PB-P=ABC-C（定值）.于是=同理，显然，当 S（P）=S（Q）时，PQ反之，当 PQ时，S（P）=S（Q）.3 一个定理的应用定理已知ABC、DBC 共边 BC，AD 交 BC 或其延长线于 E，则 分析 当 B 或 C 点与 E 重合时，结论显然成立.当 B、C 都不与 E 重合时，有两种情况：若 E在 BC 之间，由ABE=易知结论成立；若 E 在 BC 之外类似可证.证明略.这个定理叙述的事实虽然简单,但却能解决大问题.例 8 (1987 年全国初中数学联赛试题)如图 23-8 已知四边形 ABCD 内有一点 E,连接 AE、
8、BE、CE、DE，将四边形 ABCD 分成四个面积相等的三角形，那么命题（ ）.甲. ABCD 是凸四边形; 此处无图乙. E 是对角线 AC 的中点或对角线 BD 的中点;丙. ABCD 是平行四边形中.(A) 只有甲正确 (B)只有乙正确 (C)甲、乙、丙都正确 （D）甲、乙、丙都不正确分析 如果 ABCD 是以 AC 为对称轴的凹四边形，易见 AC 的中点具有题中 E 点所要求的性质， 所以甲、丙都不正确.设 AE、BE、CE、DE 将四边形 ABCD 分成四个面积相等的三角形，BD、AC 交于 F，由ABE= ADE 及本讲定理知 F 是 BD 的中点，即 E 在 AF 上.如果 F
9、与 E 重合，则 E 是 BD 的中点，乙成立.如果 F 与 E 不重合，同理由BEC=DEC 是 E 在直线 CF 上，也就是说 A、C 都在直线 EF 上.再由ABE=BEC，得 AE=EC，所以 E 是 AC 的 中点，乙成立.所以选（B）.如果将三点 A、B、C 在一条直线上看成是ABC 的蜕化情况，那么 A、B、C 三点共线等价于 ABC=0.由此引出证明三点共线的一条极自然的思路:欲证三点 A、B、C 共线，只要证明 ABC=0.为了计算ABC 的面积，常在 A、B、C 之外适当选一点 P，如果PAB、PBC、PAC 三者之中一个等于另两个之和，则自然有ABC=0，这方面传统的例子
10、是梅内劳斯定理的证 明.例 9 在图 33-9ABC 的两边 AB、AC 上分别取 E、F 两点，在 BC 的延长线上取点 D，使则 D、E、F 三点共线. 此处无图证明 设则于是 由、易得BDE=BEF+BDF，D、E、F 三点共线.说明：A、B、C 共线即点 B 在直线 AC 上.由此即知欲证 l1、l2、l3共点，只要证 l1、l2的交 点 B 在直线 l3上，若在 l3上别取点 A、C，则只要证明ABC=0 即可.看来三线共点的问题可 转化为三点共线来解决，这方面典型的例子是塞瓦定理的证明（见练习题）.最后，我们来看一个漂亮的作图问题.例 10 设 A、B 是直线 l1上的两点，而 C
11、、D 是直线 l2上的两点，l1与 l2交于 O，作出平面上 一切满足条件PAB=PCD 的点 P.分析 如图 23-10，在 l1上取 E、F，使 O 为 EF 中点且 EO=AB；在 l2上取 G、H，使 O 为 GH 中点且 GO=CD.不妨设 E、G、F、H 之顺序使 EGFH 成为以 O 为中心的平行四边形.设 EG、GF、FH、HE 之中点顺次为 M、S、N、R，则 P 点为直线 MN 和 RS 上的一切点.设 P 为 RS 上或 MN 上任一点，由作图知PAB=PFO，PCD=PGO.由本讲定理知PFO= PGO，所以PAB=PCD.当 P 点不在直线 MN 上且不在 RS 上时
12、，可以用反证法证明PABPCD.练习二十三1 选择题（1）等腰ABC 中，一腰上的高线长为，这个高线与底边的夹角是，ABC 的面积是（ ）.（A） （B）2 （C）2 （D） （E）以上答案都不对（2）如图，ABCD 是面积为 1 的正方形，PBC 为正三角形，则BPD 的面积为（ ）.（A） （B） （C） （D） （E）（3）已知等腰ABC 一腰上的中线为 15，底边上的高为 18，则ABC 的面积是（ ）.（A）124 （B）144 （C）150 （D）以上答案都不对2.填空题(1) 已知一张矩形纸片 ABCD,AB=a,BC=Ka,将纸片折叠一次,使顶点 A 与 C 重合,如果纸片不重
13、合部分面积为,则 K=_.(2) 已知等腰梯形 ABCD 的两对角线 AC、BD 互相垂直相交，且梯形的面积为 100cm2，则 梯形的高 h=_.(3) (第 3 届美国数学邀请赛试题)如图所示,将ABC 的三个顶点与同一个内点连接起来, 所得三条联线把ABC 分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图上标明. ABC 的 面积是_.(4) (1984 年西安初中数学竞赛题)设ABC 的面积为 1,则DEF 的面积是_.3.如图,B 在 AC 上,Q 在 PR 上,PBQC，AQBR.求证：APCR.4（1974 年加拿大中学生笛卡尔数学竞赛题）设 AD 为ABC 一中线，引任一直线 C
14、F 交 AD 于 E，交 AB 于 F.证明 AEFB=2AFED.5（塞瓦定理）设 X、Y、Z 分别是ABC 的边 BC、CA、AB 上的点，若则 AX、BY、CZ 三线共点.6（1983 年中学生联合数学竞赛题）如图，在四边形 ABCD 中ABD，BCD，ABC 的面积 比是 3：4：1，点 M，N 分别在 AC，CD 上，满足 AM：AC=CN：CD，并且 B、M、N 三点共线， 求证：M 与 N 分别是 AC 与 CD 的中点.此处无图7P 为ABC 内部一点，P 到边 AB、AC 的距离为 PE、PF，PE=q，PF=r，PA=x，求证： axcq+br.（a，b，c 为相应顶点对应的边长）8三角形的两边不等，则大边加上这边上的高，不小于小边加上小边上的高.9设ABC 的面积 S=1.试分别在边 BC、CA、AB 上依次我一内点 E、F、G，使得EFG 的面积适合练习二十三 （） （） （）（）连、，连后，引入三个面积参数，即， 则设与交于点，连、设易知，（），、共线、共点 设及这时， ，
